清华笔记：计算共形几何讲义 (25) 共形几何的概率解释

布朗运动和共形变换

假设一个粒子在曲面上做随机布朗运动，那么在任一时刻，粒子的运动速度方向在单位圆周上均匀分布。如果我们对曲面进行共形变换，那么共形变换将无穷小圆变成无穷小圆，因此方向空间上的概率分布没有改变。因此，我们得到共形变换的最为本质的特性：

定理 共形变换保持布朗运动。

图0. 极值长度等价于等效电阻。

微观上的布朗运动表现为宏观上的电阻。如图0所示，我们有一张单联通曲面，边界上选取四个角点 ，我们将和绝缘，和接上电极。一个从出发的粒子，在曲面上做布朗运动，有可能被侧壁吸收，也有可能到达彼岸，那么曲面的等效电阻可以解释成到达彼岸的概率。我们通过共形变换，将曲面映成平面长方形，这种变换保持等效电阻不变。长方形的等效电阻等于长宽之比，亦即曲面的极值长度等价于等效电阻。

我们用同样的观点来解释无限平面图（infinite planar graph）的组合单值化定理，用图上的随机行走来解释无限图的共形不变量，即等效电阻。

最大双曲圆盘填充

图1. 离散黎曼映照。

给定单联通的开曲面，和一个有限三角剖分。我们令每个三角形为双曲三角形，每条边为双曲测地线，边长和角度满足双曲余弦定理，

,

三角形面积为

。

图2. 不同背景几何下的三角形。

我们在每个顶点上定义一个圆盘，每条边的两个端点为

,

的长度等于两个顶点圆半径之和，

。

顶点的离散高斯曲率为角欠，

。

高斯曲面满足离散高斯-博纳定理：

。

我们定义离散共形因子为，我们可以直接得到对称性，

。

更进一步，

同时，

这里矩阵

，

。

由此我们可以定义离散熵能量为

，

那么离散熵能量为严格凸的。对于任意给定的目标离散高斯曲率

，通过优化能量

我们可以求得唯一的双曲度量实现目标曲率。或者，固定边界顶点处的圆周半径，给定内顶点处的目标高斯曲率，我们也可以实现目标双曲度量。

我们令内顶点的曲率处处为0，边界半径固定，则可以得到唯一的双曲度量，将离散曲面等距地嵌入在双曲平面上，例如庞加莱圆盘。如果我们令边界半径都趋于无穷大，那么边界顶点圆趋于horocircle，如此我们得到一个圆盘填充（circle packing），满足如下条件：

1. 每条边上的两个圆周彼此相切，

2. 边界顶点处的圆周和单位圆相切，

3. 每个双曲圆周以相应的顶点为圆心。

上的这种双曲度量是唯一的，因此这种圆盘填充彼此相差一个双曲的等距变换，即莫比乌斯变换。这种圆盘填充被称为是最大圆盘填充，（maximal hyperbolic circle packing），可以被视作是离散黎曼映照。图1显示了离散黎曼映照的计算过程，边界圆轴的半径逐渐增大，以致至无穷，圆盘填充逐渐填满整个双曲平面。

定理（最大圆盘填充 maximal circle packing）：给定平面区域的有限三角剖分，则存在最大圆盘填充，并且最大圆盘填充间相差一个莫比乌斯变换。

组合单值化定理

图2. 无限黎曼映照序列，中心（红点）的圆趋于稳定，半径收敛到一个严格正的常数。

给定单联通的开曲面，和一个无限的三角剖分，将三角剖分的面进行排列

使得是单联通的拓扑圆盘，或者等价的，和交于一条边或者两条边，（而非一个顶点、三条边，或者一条边和第三个顶点）。我们选的一个顶点和一条边，然后构造一系列离散黎曼映照，

，满足归一化条件，并且 。图2显示了一系列离散黎曼映照，为圆盘中心的红点。

当n趋向于无穷时，穷尽了无穷三角剖分，的极限行为分成两种情况，

1. 中心处的圆周半径收敛到一个正的常数，，每个圆周都收敛到稳定位置，覆盖整个双曲圆盘；

2. 中心处的圆周半径收敛到0。如果我们通过缩放变换使得，覆盖整个复平面。

这意味着开单联通曲面的任意一个无穷三角剖分，或者离散共形等价于整个复平面，或者单位圆盘。如果单联通闭曲面的三角剖分只有有限个面，则和单位球面离散共形等价。这被称为是离散单值化定理。

离散单值化定理有一个概率解释。假设有一个醉汉沿着平面图随机行走，在每一个顶点处，他以同样的概率随机选择一条邻边走向下一个顶点。假设平面图无穷大，那么有两种可能情况：

1. 醉汉以一直无法走出去，以一定概率回到起点。这对应着和复平面离散共形等价，这时被称为是“常返的”（recurrent）。
   

2. 醉汉有可能一去不复返，以概率0回到起始点。这对应着和单位圆盘离散共形等价。这时被称为是“过渡的”（transient）。

从组合角度讲，我们考察顶点的拓扑度（邻边的条数）。如果只有有限个顶点其度小于7，那么是过渡的，和单位圆盘离散共形等价；如果只有有限个顶点其度大于6，那么是常返的，和复平面离散共形等价。

如果从等效电阻角度而言，我们假设每条边都是具有单位电阻，然后考察从原点到无穷远边界的等效电阻。常返网络的等效电阻为无穷大，因此没有电子可以逃逸出去；过渡网络的等效电阻为有限值，因此电子可以逃逸出去。顶点的拓扑度反应了串联和并联，串联使得等效电阻增大，并联使得等效电阻降低。如果顶点拓扑度为6，那么串联占优势，等效电阻为无穷大；如果顶点拓扑度为7，那么并联占优势，等效电阻为有限。

总结

共形变换保持布朗运动不变，因此保持等效电阻。换言之，等效电阻代表了组合图的共形不变量。无穷平面图的等效电阻或者有限，或者无穷；在这些图上的随机行走或者是过渡的或者是常返的；这些图中或者并联占优，或者串联占优；无穷图或者可以共形覆盖整个复平面，或者单位圆盘。这就是组合单值化定理。

在证明中，我们将曲面进行可数无穷三角剖分，然后逐渐添加三角形来构造一系列的子空间，穷尽原来曲面。每个字空间都被共形映入单位圆盘，归一化之后得到曲面到平面区域的整体共形映射。曲面的像或者占据整个复平面，或者单位圆盘，如此证明了组合单值化定理。我们将用同样的思想方法来证明光滑黎曼面的单值化定理。

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