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李海东（人民教育出版社中学数学室） 摘要：做好从算术到代数的过渡，是顺利实现中小学数学教学衔接的重要方面。为了更好地实现这一过渡，需要向学生渗透代数研究的基本内容和方法，并注意加强有理数的教学，加强对学生符号意识的培养，采用归纳的方式进行代数内容的教学。 关键词：从算术到代数；中小学衔接；数学思维；衔接教学 小学数学教学与初中数学教学是义务教育阶段中一脉相承的两个教学阶段，小学数学教学是初中数学教学的基础，初中数学教学又是小学数学教学的深入和扩展。由于学生在小学中所学习的数学知识都比较具体、直观，学生形象思维较强，而逻辑思维、抽象思维、概括能力较弱, 相当一部分学生从小学进入初中后，新知识的增加引发的新变化、视野的扩展、思维方式的改变等, 都让刚刚步入初中门槛的学生一时难以适应初中的数学学习. 如何改变这一被动局面呢? 除了从教学方法、学习方法、学习习惯等方面做好衔接以外，更重要的是要让学生逐步体会中学数学的核心内容和研究方法，而从算术到代数的过渡无疑是其中最重要的方面。 一、认识算术与代数的区别 从算术到代数，是学生数学学习过程中极为重要的转变阶段。算术中的基本对象是数，包括数的表示、数的意义、数之间的关系、数的运算等。在代数中，运算是核心内容，代数是一类算术运算规律的表示。代数运算的内容和方法比算术运算具有更广阔的意义，两者具有特殊和一般的关系。 1．算术运算与代数运算 算术运算与代数运算的根本区别在于算术运算是过程性的，其目的是为了求出算式的结果，而代数运算是结构性的，结构是从语言表达抽象出来的一种形式，是形式变换，代数运算具有过程性和结果性。 在算术中，当写成两个数相加的形式时，例如2＋3，通常就是要算出2与3的和，即5，2＋3通常只是一个过程，5是2＋3的结果。而在代数中，代数式a＋b这个形式本身，既表示a和b这两个数做加法运算，又表示a和b相加的结果，即a+b本身既可以看作运算过程，又可以看作运算结果，也就是作为一个对象来看待。 把代数式作为一个结果对象来理解，对于开始学习代数的学生来讲还是非常困难的。例如，对于一个长为a米，宽为b米的长方形，利用长方形的面积公式，学生可以很容易得到其面积是ab，但学生往往不认为ab就是长方形的面积（运算结果），经常要去问教师：ab到底是多少呢？由此也可以看出，对于代数式意义的理解，学生不可能一蹴而就，需要一个认知的过程。 2．算术解法与代数解法 在解决问题的过程中，代数的方法与算术的方法可以认为是解决问题的两种手段。从解决问题方法的多样性来考虑，算术的方法、列表的方法都不失为解决问题的途径。但从思维发展的角度来说，代数的思考是在抽象层面上的思考，代数的方法具有一般性，有助于培养学生高层次的思维。 例如，对于我国古代数学中著名的鸡兔同笼问题：一个笼子里有若干只鸡和兔，它们共有20个头和64只脚，问鸡和兔各有多少？ 分析这两种解法，可以看出，用算术方法的本质是寻求问题的结果，是从具体问题的已知数出发，通过对已知数或计算过程中产生的中间数进行一系列的运算而得到问题的解，并将问题形式化，思维过程是逆向的。而用方程的方法，首先要分析问题中的数量关系，寻找其中的等量关系，利用等量关系把问题表示为含有未知数的等式，把问题形式化，这一思维过程是顺向的。然后利用等式的性质对方程进行恒等变形，这一过程中要保持等号两边的等量关系，进而求得x＝8。 在两种解法中，“＝”的意义各不相同。算术解法中，“＝”用来表示问题的计算结果，而不是用来表示等号两边的数量关系。“20－8＝？”所传达的信息是把20－8的结果算出来。而在方程解法中，“＝”用来表示左右两边的等量关系，无论是列方程，还是解方程，这个等量关系始终是保持不变的。方程的结构既包含了等量关系，又包含了代数式的运算结构和等式变形的结构。 二、对做好从算术到代数衔接教学的建议 1．加强有理数的教学，渗透代数研究的基本思想 代数问题中，运算是核心内容。引进一种新的数（量），就要研究相应的运算；定义一种运算，就要研究相应的运算律，这是代数的核心思想。这一核心思想在有理数的教学中的体现是十分充分的。“有理数”内容的展开过程，体现了一个完整的代数结构，即有理数的引入（用有理数表示一个量），研究有理数的运算（加法、乘法，及减法和除法运算），利用运算律（交换律、结合律、分配律）简化运算，有理数的大小比较等其他问题。后续代数内容的研究，也都体现了这一基本结构。学生在有理数中获得的知识，可以自然地迁移到用字母代表数后的学习内容中去。例如，对于式的内容的研究，由于用式中的字母表示数，因此对于数中成立的运算法则和运算律，在式中仍然成立。因此，对于式的研究也就可以转化为数的研究，这就是数式通性。理解了有理数中的运算和运算律，对于实数、整式、分式、二次根式等初中将要学习的式的其他内容，也就迎刃而解了。 另外，在代数学习中，经常会遇到数系及其运算的扩充的问题。在这一扩充过程中，核心的问题是在添加了一类新数后，所引进的新数之间的运算归结到原有的数之间的运算而定义运算法则，进而使原有的运算律在新的数系中得以保持。这样的思想在有理数的教学中也可以渗透给学生，让他们感受数学思想方法的熏陶。例如，在归纳运算法则时，要注意强调从符号和绝对值两个角度着手，明确与负数有关的运算，都借助绝对值，将它们转化为正数之间的运算等。 因此，有理数内容的教学，在整个代数学习中具有基础的地位和作用。通过有理数的教学，不仅仅是要教会学生进行具体的有理数的运算，还要渗透研究代数问题的基本内容和基本思路，为今后的学习打下基础，而这一研究过程也体现在从算术到代数的过渡中。因此，对于有理数的教学，可以从在小学学习过的对数及其运算的基础上展开新内容。小学阶段对于正整数、0、正分数等的意义、运算和运算律的认识经验，可以自然地延伸到有理数的学习中来。例如，可以回顾数的发展历史，通过相反意义的量引出负数概念；通过思考小学学过的加法计算是正数与正数相加、正数与0相加，引入负数后，思考加法的类型有哪几种？从而引出有理数的加法运算；通过问题“我们以前学过加法交换律、结合律，在有理数的加法中它们还适用吗？”引出研究加法运算律的问题；等等。 2．加强符号意识的培养，让学生体会从算术到代数的进步 代数研究的基本对象除了数，还有更具广泛意义的基本对象——符号，这是代数不同于算术的典型特征。在代数中，用字母表示数，用符号表示运算法则、运算性质、计算公式等，将数的知识提升到一般化的水平．在代数的课程中，学生要学习符号的意义，进行符号之间的运算（形式变换）和转换，用符号进行表示，用符号解决问题。在这一过程中，很重要的一步是用字母来表示抽象运算，像对数那样对符号进行运算，并且通过符号运算得到的结果是具有一般性的。例如，对于符号y＝ax，既可以表示长方形的面积与长、宽之间的关系，也可以表示平行四边形的面积与底、高之间的关系，还可以表示路程与速度、时间之间的关系，又可以表示总价与单价、数量之间的关系……这表明数学符号不仅是一种表达方式，更是与数学概念、命题等具体内容相关的、体现数学基本思想的核心概念。正是因为符号的出现和广泛使用，体现代数方法的优越性，体现了从算术到代数的进步。对学生符号意识的培养，可以从三个方面来考虑。 一是能理解并运用符号表示数、数量关系和变化规律。 例如，在有理数的教学中，要渗透用字母表示数的知识。例如，用－a表示a的相反数；用字母表示求一个数的绝对值的结论；用字母表示有理数的运算法则和运算律；等等。这样可以使问题阐述得更简明、更深入，让学生体会字母表示数的简洁性和广泛性。 二是知道使用符号可以进行运算和推理。 例如，在整式的运算和解方程的过程中，在逻辑法则（特别是运算律）下对符号的变量进行替换、关系转换、等价推演等的过程中，让学生体会对符号的推理和运算，强调其过程中数式通性的原理和运算律（特别是分配律）所起的作用。 三是使学生理解符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式。 在对学生符号意识的培养中，仅靠单纯的符号推演和模仿记忆是难以达到应有的效果的，应该在数学问题的解决过程中发展学生的符号意识。例如，对于列方程解应用题，首先我们要分析问题中的数量关系，再寻找其中的等量关系，这就是一个使用符号进行抽象和表达的问题. 在解方程的过程中，根据等式的基本性质和运算律进行方程的同解变形，就是使用符号进行运算和推理的过程，而使用符号进行方程变形的依据是数式通性。这样一个问题解决的过程，积累了学生运用符号进行数学活动的经验，能更好地感悟符号所蕴涵的数学思想的本质，提高学生的符号意识。 3．采用归纳的方式进行教学，体现代数研究的基本方法 在代数的研究中，尽管我们有运算律，但是缺乏相应的代数直观的引导。所以，在代数的研究中，寻找目标以有的放矢是十分重要的一步，而这个过程就是归纳法。因此，归纳法是代数研究的基本方法，归纳法在代数研究中的应用主要包括以下三个部分：一是归纳地发现具有某种特性的事物；二是归纳地定义该事物；三是归纳地证明上述定义所具有的特性。因此，在初中代数起始阶段的教学中，要体现归纳法这种代数研究的基本方法，以更好地实现从算术到代数的过渡。 在代数的教学中，一定要体现归纳教学，为学生安排一个“具体事例—观察、试验—比较、分类—分析、综合—抽象、概括”的过程，使学生有机会通过自己的类比和归纳而得出一般规律，获得对代数对象及其运算的知识。这样做的目的主要是为了体现以数学知识发生、发展过程为载体进行思维教学这一数学课程的核心任务，使学生在学习过程中，不仅学会知识，而且受到研究问题的思想方法训练，从而培养学生的思维能力，逐步发展独立解决问题的能力。实际上，这就是在进行数学基本思想的教学，也是让学生积累数学活动经验的过程。 例如，对数轴概念的教学，关键就是要用好教材中的具体实例，以及学生熟悉的生活事例，引导学生观察、比较、分析和综合等思维活动，并抽象出基准点、方向和与基准点的距离在刻画事物相对位置中的作用，然后再结合引入负数概念过程中，用正、负数表示相反意义的量的经验，概括出数轴的三要素。 再如，整式可以简明地表示实际问题中的数量关系，它比只有具体数字表示的算式更具一般性。整式中的字母表示数，这使得关于整式的运算与数的运算具有一致性，因此可以说整式的运算是建立在数的运算基础之上的，式的运算更具有一般性，数的运算是式的运算的特殊情形。学生已经学习了有理数的运算，能够运用有理数的运算法则和运算律进行运算.因此，在教学“整式的运算”时，要充分注意与数的运算相联系，类比数的运算，在数的运算的基础上归纳整式加减运算的法则和规律。例如，在学习“合并同类项法则”时，可以先让学生进行数的运算100×2+252×2和100×（-2）+252×(-2)，在计算的过程中，重点思考进行运算的依据，然后引导学生利用这个依据，探讨关于式100×t+252×t的运算，归纳得出合并同类项的法则。 参考文献： [1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012. [2]弗莱登塔尔.作为教育任务的数学[M]. 陈昌平，唐瑞芬，译. 上海：上海教育出版社，1995. [3]项武义. 基础代数学[M]. 北京：人民教育出版社，2004. [4]史宁中. 数学思想概论[M]. 长春：东北师范大学出版社，2008. |
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