【每日一题】图形旋转

如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．
（1）求证：△BDG∽△DEG；
（2）若EG·BG=4，求BE的长

．

解析：

试题分析：

（1）根据旋转性质求出∠EDG=∠EBC=∠DBE，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）先求出BD=BF，BG⊥DF，求出BE=DF=2DG，根据相似求出DG的长，即可求出答案．

试题解析：

（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠FDC=∠EBC，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠EBC，
∴∠FDC=∠EBD，
∵∠DGE=∠DGE，
∴△BDG∽△DEG．

（2）∵△BCE≌△DCF，

∴∠F=∠BEC，∠EBC=∠FDC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°，∠DBC=∠BDC=45°，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC，
∴∠BEC=67.5°=∠DEG，
∴∠DGE=180°-22.5°-67.5°=90°，
即BG⊥DF，
∵∠BDF=45°+22.5°=67.5°，∠F=90°-22.5°=67.5°，
∴∠BDF=∠F，
∴BD=BF，
∴DF=2DG，
∵△BDG∽△DEG，BG×EG=4，

∴BG×EG=DG×DG=4，
，
∴DG=2，
∴BE=DF=2DG=4．

编辑：木木

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