我们经常说函数相关的问题是整个高考数学当中的核心重难点问题,在高考数学当中占有至关重要的作用,不论是大题还是小题,我们都能看到函数的影子。 要想学好函数,首先我们要熟练掌握好函数的基本知识概念、图象与性质等等,同时要加强函数的综合运用、函数的的实际应用等等各方面综合能力的学习。 高考数学只要考到函数问题,那么肯定就会用到函数的图象与性质。函数的图象是函数刻画变量之间的函数关系的一个重要途径,是研究函数性质的一种常用方法,是数形结合的基础和依据。 因此,为了能更好帮助高考的数学学习,今天我们就来讲讲如何复习巩固函数图象相关知识内容。 首先大家要彻底掌握好两种函数图象的作法,分别是利用描点法作函数图象和利用基本函数的图象作图,具体如下: 一、利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线,首先: ①确定函数的定义域; ②化简函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性); 其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点); 最后:描点,连线. 二、利用基本函数的图象作图 1.平移变换 (1)水平平移:y=f(x±a)(a>0)的图象,可由y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a个单位而得到。 (2)竖直平移:y=f(x)±b(b>0)的图象,可由y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移b个单位而得到。 2.对称变换 (1)y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称. (2)y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. (3)y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称. (4)要得到y=|f(x)|的图象,可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分以 x轴为对称轴翻折到x轴上方,其余部分不变. (5)要得到y=f(|x|)的图象,可将y=f(x),x≥0的部分作出,再利用偶函数的图象关于y轴的对称性,作出x<0时的图象。 3.伸缩变换 (1)y=Af(x)(A>0)的图象,可将y=f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变而得到。 (2)y=f(ax)(a>0)的图象,可将y=f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的1/a倍,纵坐标不变而得到。 典型例题分析1: 已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x+1/x+2的图象关于点A(0,1)对称. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若g(x)=f(x)+a/x,g(x)在区间(0,2]上的值不小于6,求实数a的取值范围. 解:(1)设f(x)图象上任一点坐标为(x,y), ∵点(x,y)关于点A(0,1)的对称点(-x,2-y)在h(x)的图象上, ∴2-y=-x+1/(-x)+2, ∴y=x+1/x, 即f(x)=x+1/x. (2)由题意g(x)=x+(a+1)/x, 且g(x)=x+(a+1)/x≥6,x∈(0,2]. ∵x∈(0,2], ∴a+1≥x(6-x), 即a≥-x2+6x-1. 令q(x)=-x2+6x-1,x∈(0,2], q(x)=-x2+6x-1=-(x-3)2+8, ∴x∈(0,2]时,q(x)max=q(2)=7, 故a的取值范围为[7,+∞). 高考数学对函数图象的考查力度,只会越来越大,题型越来越丰富。很多学生对如何解决函数问题完全处于一知半解的状态,没有抓住知识的要领。 一般情况下,作图一般有两种方法:直接作图法、图象变换法。其中图象变换法,包括平移变换、伸缩变换和对称变换,要记住它们的变换规律。 具体细化来说,就是以下两个方面: 1、直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征直接作出. 2、图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 大家一定要注意的是对于左、右平移变换,可熟记口诀:左加右减.但要注意加、减指的是自变量,否则不成立。 一个函数的图象关于原点(y轴)对称与两个函数的图象关于原点(y轴)对称不同,前者是自身对称,且为奇(偶)函数,后者是两个不同的函数对称。 典型例题分析2: 已知函数y=f(x)的定义域为R,并对一切实数x,都满足f(2+x)=f(2-x). (1)证明:函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称; (2)若f(x)是偶函数,且x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求x∈[-4,0]时的f(x)的表达式. 解:(1)证明:设P(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任一点, 则y0=f(x0),点P关于直线x=2的对称点为P′(4-x0,y0). 因为f(4-x0)=f(2+(2-x0))=f(2-(2-x0))=f(x0)=y0, 所以P′也在y=f(x)的图象上,所以函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称. 考查函数的图象问题,我们就需要学会利用函数的图象来解决问题,在图象当中挖掘潜在的知识内容和条件,如运用数形结合思想方法等等,学会“看图说话”。 “看图说话”常用的方法: 1、定性分析法: 通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题。 2、定量计算法: 通过定量的计算来分析解决问题。 3、函数模型法: 由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题。 对图象的判断主要有以下两种: 1、根据所给函数解析式,利用其与基本初等函数的关系以及它们之间的变化规律,根据图象变换得出所求函数的图象。 2、根据函数的性质(如:奇偶性、单调性、周期性等)或函数图象的特殊点得出所求函数的图象。 图象的应用主要有以下几个方面:求函数的值域、单调区间,求参数的取值范围,判断非常规解的个数等。 典型例题3: 若函数f(x)的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与函数f(x)的值域相同,则称变换T是函数f(x)的同值变换.下面给出四个函数及其对应的变换T,其中变换T不属于函数f(x)的同值变换的是( ) A.f(x)=(x-1)2,变换T将函数f(x)的图象关于y轴对称 B.f(x)=2x-1-1,变换T将函数f(x)的图象关于x轴对称 C.f(x)=2x+3,变换T将函数f(x)的图象关于点(-1,1)对称 D.f(x)=sin(x+π/3),变换T将函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称 解析:选B 对于A,与f(x)=(x-1)2的图象关于y轴对称的图象对应的函数解析式为g(x)=(-x-1)2=(x+1)2,易知两者的值域都为[0,+∞); 对于B,函数f(x)=2x-1-1的值域为(-1,+∞),与函数f(x)的图象关于x轴对称的图象对应的函数解析式为g(x)=-2x-1+1,其值域为(-∞,1); 对于C,与f(x)=2x+3的图象关于点(-1,1)对称的图象对应的函数解析式为2-g(x)=2(-2-x)+3,即g(x)=2x+3,易知值域相同; 对于D,与f(x)=sin(x+π/3)的图象关于点(-1,0)对称的图象对应的函数解析式为g(x)=sin(x-π/3+2),其值域为[-1,1],易知两函数的值域相同。 利用函数图象来解决相关的数学问题,其实就是把函数图象当成桥梁,在各个知识板块之间建立联系,如要学会通过函数的图象掌握和运用函数的性质。 学会利用函数的图象研究函数的性质,如对于已知或易画出在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系。 当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标。 学会利用函数的图象研究方程根的个数。 解决函数图象相关问题,大家一定要加强识图、读图能力的提高,提高包括数形结合思想在内的数学思想方法的灵活运用能力。如在实际情境中,会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数;会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式的解的问题;会用数形结合思想、转化与化归思想解决函数问题。 典型例题分析4: 要想学好数学,除了掌握好相关基础知识内容,大家更要提高综合运用知识解决问题的能力。函数图象本身知识点不难,难就难在如何“运用”。希望同学们不要好高骛远,打好基础,稳步扎实的提高数学成绩。 本文转载自【吴国平数学教育】 并得到授权添加原创标志!
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