2014届高考数学（理）一轮复习热点针对训练：第9讲《对数与对数函数》《函数的图象》Word版含解

1.(2012·山东省东营市期末)函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是( B )

解析：(方法一)将幂函数y＝x的图象向下平移1个单位，再作关于x的对称图象可得到选项B中的图象，故选B.

(方法二)取特殊点：取函数y＝x－1图象上的点(1,0)，关于x轴对称的图象也是(1,0)，排除C，D；又在函数y＝x－1图象上取点(0，－1)，关于x轴对称的点为(0,1)，排除A，故选B.

2.(2013·海淀二模)为了得到函数y＝log₂的图象，可将函数y＝log₂x的图象上所有点的( A )

A．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位长度

B．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向左平移1个单位长度

C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度

D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度

解析：因为函数y＝log₂(x－1)，因此由函数y＝log₂x的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变得到y＝log₂x的图象，再向右平移1个单位长度得到y＝log₂(x－1)的图象，故选A.

3.(改编)当0＜x≤时，8^x＜log_ax，则a的取值范围是( B )

A．(0，) B．(，1)

C．(1，) D．(，2)

解析：在同一坐标系中作出函数y＝8^x与y＝log_ax的图象．当a>1时，显然不成立．若0<<I>a<1时，要使0＜x≤时，8^x＜log_ax，则必有8_a，则有<<I>a<1，故选B.

4.已知函数f(x)＝，则函数y＝f(1－x)的大致图象是( C )

解析：y＝f(1－x)＝，

即y＝f(1－x)＝，故选C.

5.将函数y＝的图象C向左平移一个单位后，得到y＝f(x)的图象C₁，若曲线C₁关于原点对称，那么a的值为－1 .

解析：因为图象C的对称中心为(－a,0)，而C₁的对称中心为(0,0)，所以－a＝1，即a＝－1.

6.(2012·福建省莆田市3月质检)如图是定义在[－4,6]上的函数f(x)的图象，若f(－2)＝1，则不等式f(－x²＋1)<1的解集是 (－，) .

解析：由图象知函数f(x)在[－4,1]上为减函数，而－x²＋1≤1，则不等式f(－x²＋1)<1等价于f(－x²＋1)<<I>f(－2)，所以－x²＋1>－2，解得－<<I>x<.

7.(2012·长春市高中毕业班第一次调研)已知函数f(x)＝，则关于x的方程f[f(x)]＋k＝0给出下列四个命题：

①存在实数k，使得方程恰有1个实根；

②存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实根；

③存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根；

④存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根．

其中正确命题的序号是 ①② (把所有满足要求的命题序号都填上)．

解析：由f(x)的图象知f(x)>0，

则f[f(x)]＝.

根据f[f(x)]的图象(如图)可知，①②正确．

8.已知函数f(x)＝.

(1)画出f(x)的图象；

(2)写出f(x)的单调递增区间．

解析：(1)函数f(x)的图象如图所示．

(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．

9.(2013·宁夏银川模拟)已知函数f(x)＝|x－3|＋|x＋1|.

(1)作出y＝f(x)的图象；

(2)解不等式f(x)≤6.

解析：(1)f(x)＝|x－3|＋|x＋1|

＝.

图象如图所示．

(2)(方法一)由f(x)≤6，

得当x≤－1时，

－2x＋2≤6，x≥－2，

所以－2≤x≤－1.

当－1<<I>x≤3时，4≤6成立；

当x>3时，2x－2≤6，x≤4，所以3<<I>x≤4.

所以不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤4}．

(方法二)数形结合．

由下图可知，不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤4}．

1.(改编)如图所示，已知四面体ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AC的中点，则(＋＋＋)化简的结果为( C )

A. B.

C. D.

解析：(＋＋＋)＝(＋＋)＝(＋)＝×2＝，故选C.

2.以下四个命题中正确的是( B )

A．若＝＋，则P、A、B三点共线

B．若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底

C．|(a·b)·c|＝|a||b||c|

D．△ABC为等腰直角三角形的充要条件是·＝0

3.若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则( C )

A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－

C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝

解析：因为a∥b，所以＝＝，

所以x＝，y＝－.

4.(2013·舟山月考)平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，向量、、两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于( A )

A．5 B．6

C．4 D．8

解析：设＝a，＝b，＝c，

则＝a＋b＋c，²＝a²＋b²＋c²＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，因此||＝5，故选A.

5.已知A(－1，－2,6)，B(1,2，－6)，O为坐标原点，则向量与夹角是 180° .

解析：＝－，故夹角为180°.

6.(2012·吉林省油田高中上期期末)已知向量F₁＝(1,2，－3)，F₂＝(－2,3，－1)，F₃＝(3，－4,5)，若F₁，F₂，F₃共同作用在一个物体上，使物体从点M₁(1，－2,1)移到点M₂(3,1,2)，则合力所做的功为 8 .

解析：合力F＝F₁＋F₂＋F₃＝(2,1,1)，

位移＝(2,3,1)，

则合力所做的功为W＝F·＝8.

7.(2012·海南部分重点中学联考)已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝且λ＞0，则λ＝ 3 .

解析：由题意λa＋b＝(4,1－λ，λ)，

所以16＋(λ－1)²＋λ²＝29(λ＞0)?λ＝3.

8.(2013·河北省保定模拟)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：

(1)a，b，c；

(2)(a＋c)与(b＋c)所成角的余弦值．

解析：(1)因为a∥b，

所以＝＝，解得x＝2，y＝－4，

这时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)，

又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，

解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．

(2)由(1)得a＋c＝(5, 2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，

设(a＋c)与(b＋c)所成角为θ，

因此cos θ＝＝－.

9.已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．

(1)求|2a＋b|；

(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)．

解析：(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，

故|2a＋b|＝＝5.

(2)＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)．

若⊥b，则·b＝0，

所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.

因此存在点E，使得⊥b，此时E点的坐标为(－，－，)．

1.(改编)(log₂27)·(log₃8)＝( D )

A. B．3

C．6 D．9

解析：log₂27×log₃8＝×＝×＝9，故选D.

2.(改编)函数y＝log₃的图象( A )

A．关于原点对称 B．关于直线y＝－x对称

C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称

解析：由于定义域为(－3,3)关于原点对称，又f(－x)＝－f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称，故选A.

3.(2012·唐山市期末统一考)函数y＝的定义域为( B )

A．(0,8] B．(－2,8]

C．(2,8] D．[8，＋∞)

解析：由，得，

所以－2<<I>x≤8，故选B.

4.若x∈(，1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln³x，则( C )

A．a<<I>b<<I>c B．c<<I>a<<I>b

C．b<<I>a<<I>c D．b<<I>c<<I>a

解析：因为x∈(，1)，所以－1x<0，

所以ln x>2ln x，即b<<I>a.

又a－c＝ln x－ln³x＝ln x(1－ln²x)<0，所以a<<I>c，

故b<<I>a<<I>c，故选C.

5.函数y＝log(x²－6x＋17)的值域是 (－∞，－3] .

解析：因为t＝x²－6x＋17＝(x－3)²＋8≥8，

所以y＝logt≤log8＝－3，

所以函数的值域为(－∞，－3]．

6.函数f(x)＝lg(x²－ax－1)在区间(1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是 (－∞，0] .

解析：f(x)＝lg(x²－ax－1)在区间(1，＋∞)上单调递增

a≤0.

7.(2012·潍坊市三县10月联考)设函数f(x)＝，若f(m)<<I>f(1－m)，则实数m的取值范围是 (－1,0)∪(1，＋∞) .

解析：当x>0时，logm2m，解得m>1；当m<0时，log₂(－m)m)，解得－1<<I>m<0.所以实数m的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．

8.已知函数f(x)＝log(x²－2ax＋3)．

(1)若函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a的值；

(2)若函数f(x)的定义域为R，值域为(－∞，－1]，求实数a的值；

(3)若函数f(x)在(－∞，1]上为增函数，求实数a的取值范围．

解析：(1)由x²－2ax＋3>0的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)，得2a＝1＋3，所以a＝2，即实数a的值为2.

(2)函数f(x)的值域为(－∞，－1]，则f(x)_max＝－1，

所以y＝x²－2ax＋3的最小值为y_min＝2，

由y＝x²－2ax＋3＝(x－a)²＋3－a²，得3－a²＝2，

所以a²＝1，所以a＝±1.

(3)f(x)在(－∞，1]上为增函数，则y＝x²－2ax＋3在(－∞，1]上为减函数，且y>0，

所以??1≤a<2.

所以实数a的取值范围是[1,2)．

9.(2013·山东省聊城)已知函数f(x)＝log₂(1－x)，g(x)＝log₂(1＋x)，令F(x)＝f(x)－g(x)．

(1)求F(x)的定义域；

(2)判断函数F(x)的奇偶性，并予以证明；

(3)若a，b∈(－1,1)，猜想F(a)＋F(b)与F()之间的关系并证明．

解析：(1)由题意可知，，解得－1<<I>x<1，

所以F(x)的定义域为{x|－1<<I>x<1}．

(2)定义域关于原点对称，

且F(－x)＝log₂(1＋x)－log₂(1－x)＝－F(x)，

所以F(x)为奇函数．

(3)当x∈(－1,1)时，F(x)＝log₂.

F(a)＋F(b)＝log₂＋log₂

＝log₂

＝log₂，

又F()＝log₂＝log₂，

所以F(a)＋F(b)＝F()．