高考倒计时 | 每日一道高考题，助力高考得高分（28）

 本周更新理数，下周更新文数 

小数老师说：

今天是全国I卷理数的题目，一道圆锥曲线的题目，大家快来做做吧~

昨晚调查问卷，很多同学都想要每日一题，大家先加小数老师微信（xsls02）吧，小数老师拉一个群，每天分享

（2017 · 全国I卷模拟理数 · 20）

20、已知F₁  ， F₂为椭圆E的左右焦点，点P（1，）为其上一点，且有|PF₁|+|PF₂|=4  

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过F₁的直线l₁与椭圆E交于A，B两点，过F₂与l₁平行的直线l₂与椭圆E交于C，D两点，求四边形ABCD的面积S_ABCD的最大值．

先自己思考

本题考点

直线与圆锥曲线的综合问题

题目分析

（I）设椭圆E的标准方程为 ，由已知|PF₁|+|PF₂|=4， ，由此能求出椭圆E的标准方程．

（II）由题意可知，四边形ABCD为平行四边形，S_△ABCD=4S_△OAB  ， 设直线AB的方程为x=my﹣1，且A（x₁  ， y₁），B（x₂  ， y₂），由，得（3m²+4）y²﹣6my﹣9=0，由此利用弦长公式能求出S_△BCD的最大值

题目解析

（I）设椭圆E的标准方程为 ，  由已知|PF₁|+|PF₂|=4，得2a=4，∴a=2，

又点P（1， ）在椭圆上，∴ ，∴b= ，

椭圆E的标准方程为 =1．

（II）由题意可知，四边形ABCD为平行四边形，
∴S_▱ABCD=4S_△OAB，
设直线AB的方程为x=my﹣1，且A（x₁  ， y₁），B（x₂  ， y₂），
由，得（3m²+4）y²﹣6my﹣9=0，

∴y₁+y₂= ，y₁y₂=﹣ ，

S_△OAB= + = |OF₁||y₁﹣y₂|= ==6

令m²+1=t，则t≥1，S_△OAB=6=6

又∵g（t）=9t+ 在[1，+∞）上单调递增
∴g（t）≥g（1）=10，∴S_△OAB的最大值为．

∴S_▱ABCD的最大值为6

本题点评

本题考查圆锥曲线的综合应用，计算量较大，大家要掌握解题思路，认真做