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（2017·郴州）如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE． （1）求证：△CDE是等边三角形； （2）如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【图文解析】 （1）由旋转的性质可得∠DCE=60°，DC=EC，可知△CDE是等边三角形 （2）简析：当6＜t＜10时，由旋转的性质可知BE=AD，则C△DBE= BE+DB+DE = AD+DB+DE= AB+DE= 4+DE，而等边△CDE中有DE=CD，从而C△DBE= 4+CD，将求C△DBE最小，转化为求CD最短。由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△DBE的周长最小，此时CD=2×根号3（cm），所以△DBE的最小周长=4+CD=4+2×根号3（cm）； （3）本题因未说明Rt△的直角顶点，所以我们要对直角顶点进行分类讨论。通过移动D点，发现以点B为顶点的角不可能是直角，而以点D、E为顶点的角可以是直角，如下图所示： ①当∠BED=90°时： 由图可知，OD=OA﹣DA=6﹣4=2（cm），可知t=2÷1=2（s） ②当∠BDE=90°时，如图： 由图可知OD=OB+BD=10+4=14（cm），则t=14÷1=14（s）. 即当t=2s或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形． 反思：熟练掌握旋转的性质，知道图形旋转后哪些量是不变的；求最值时，发现最值由几个变量决定，可以通过转化将多个变量转化为一个变量求最值；第（3）问中三角形没有说明直角顶点是哪个点，我们需对直角顶点进行分类讨论。 |
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