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在中考几何综合题中，等腰三角形、直角三角形往往是分类讨论的经典图形，毕竟它们不说清楚作图要求，形状便千奇百怪，因此，遇到题目中给出等腰三角形却又不说明底和腰，给出直角三角形却又不说清直角顶点时，那多半便是要进行分类讨论。几何的分类讨论中，图形是不相同的，因此修炼这类解题功夫的第一层是规范作图，用绘图工具绘出符合要求的图形进行证明与计算，而第二层功夫则是用脑作图，只需要题目中的原图，自行脑补，完成剩下的证明与计算。 规范作图是从七年级开始训练的一项数学基本技能，经过不断练习之后，逐渐熟练，特别是那些在几何学习上颇有天分的孩子，其绘图技能已臻化境，完全在大脑中作图，甚至无图胜有图。同时，规范作图也是规范思维的一部分，属于非常良好的学习习惯。 下面以一道中考几何综合题为例，说明如何进行分类讨论，在阅读本文时，不妨先自行尝试在脑中绘图，然后再来看配图，验证自己想像是否正确。 题目 如图，已知P是锐角∠MAN内部一点，过点P作PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，以PB为直径作⊙O，交直线CP于点D，连接AP，BD，AP交⊙O于点E (1)求证：∠BPD=∠BAC (2)连接EB，ED，当tan∠MAN=2，AB=2√5时，在点P的整个运动过程中 ①若∠BED=45°，求PD的长； ②若△BED为等腰三角形，求所有满足条件的BD的长； (3)连接OC，EC，OC交AP于点F，当tan∠MAN=1，OC∥BE时，记△OFP的面积为S1，△CFE的面积为S2，请写出S1：S2的值。 解析： (1)∠BAC在四边形ACPB内，∠BPD在△BPD内，对于四边形ACPB来讲，它有两个直角，则剩下两个角之和为180°，即∠BAC+∠BPC=180°，而∠BPC+∠BPD=180°，所以∠BPD=∠BAC； (2)三角函数的最大好处是，只要角相等，那么相应的边长数量关系不变，这就能找到多个相同边长比的直角三角形，快速确定它们之间的等量关系。此外注意本小题有两个分支，互相独立，需要分别解答，结论不能完全通用，但可部分借鉴。 ①∠BDE=45°，首先要反应过来，它是圆周角，然后观察∠BPE，再发现等腰Rt△ABP就顺理成章了，根据等腰直角三角形，迅速计算出BP=AB=2√5，现在回到Rt△BPD中，由于它有一个锐角∠BPD=∠BAC，因此tan∠BPD=2，可得BD=2PD，从而计算出PD=2； ②每当我读到“等腰三角形”五个字时，便猜到接下来一定是个坑，显然未指定底和腰的等腰三角形，需要分情况讨论，即分别以DE，BD，BE为底，如下图所示 若以DE为底，则BD=BE，我们按这个顺序来观察图中的角，先由同弧所对的圆周角相等，得到∠BPD=∠BED(由弧BD所对)，∠BDE=∠BPE(由弧BE所对)，而根据等腰三角形两底角相等，可得∠BDE=∠BED，再由第1小题的结论∠BPD=∠BAC得到∠BPE=∠BAC，这一系列等量转换的目的是为了能使用tan∠BAC=2，现在我们得到tan∠BPE=2，它同时是Rt△ABP和Rt△BPE的锐角，在前者根据AB=2√5，求出BP=√5，从而在后者得到BE=2=BD； 若以BD为底，则BE=DE，于是等腰三角形两底角变为∠BDE=∠DBE，其中∠BDE=∠APB(由弧BE所对)，∠DBE=∠APC(圆外接四边形的一个外角等于它的内对角)，很惊喜地发现，原来∠APB=∠APC，于是∠BAP=∠CAP，AP居然是∠BPC的角平分线！立刻得到AB=AC=2√5，过点B作BF⊥AC于点F，如下图所示 显然构造出Rt△ABF，由tan∠BAC=2，AB=2√5求得AF=2，最后CF=AC-AF=2√5-2，而四边形BDCF为矩形，得到BD=2√5-2； 若以BE为底，则BD=DE，等腰三角形两底角变为∠DEB=∠DBE，再进行等量转换，∠DEB=∠BPD(由弧BD所对)，∠DBE=∠ABC(圆内接四边形的一个外角等于它的内对角)，我们又能再一次使用三角函数，分别在Rt△APC和Rt△BPD中，为了计算方便，设PD=x，则BD=2x，仍以上图辅助线作法，如下图所示 Rt△APC中，tan∠APC=2，于是AC=2PC，其中AC=AF+CF=2+2x，PC=CD-PD=BF-PD=4-x，可列方程2+2x=2(4-x)，解得x=1.5； (3)tan∠MAN=1，意味着∠MAN=45°，同时∠BPD=45°，图中立马出现两个等腰直角三角形，△ABH和△BPD，如下图所示 观察OF，对于△BPE，它是中位线，于是EF=PF，则最后我们需要的△CFE和△OFP有一条边相等，那便以它为底，它们的高分别是CF和OF，面积的比即为它们高的比。我们过点O作OH⊥CD于点H，过点B作BG⊥AC于点G，这样又构造出第二条中位线，即△BPD的中位线OH，BP是直径，于是∠BEP=90°，再由BE∥OC得到∠OFP=90°，即OC⊥AP，观察∠PCF和∠PAC，可证它们相等，于是△APC∽△COH，得到比例式为AC:CH=PC:OH，为方便计算，设BD=DP=2a，PC=2b，于是表示出OH=a，CH=a+2b，AC=AF+CF=BF+CF=CD+BD=2a+2b+2a=4a+2b，代入上述比例式，求得(4a+2b)a=(a+2b)2b，整理后得a=b。 现在我们统一使用字母a来表示线段长，首先得到OC=√10·a，然后由△CPF∽△COH得到PC:CF=OC:CH，化简后得CF=3√10·a/5，最后得到OF=2√10·a/5，这样S1:S2=2:3。 解题反思： 最烧脑的是第3小题，涉及到两次相似，同时比例线段需要设参数表示，这对九年级学生的几何综合能力是一种考验，即用字母表示线段或面积应成为一种习惯思维，在求比值的过程中，它们最终都会被消掉。但对于多数学生来讲，能顺利完成第2小题中的分类讨论，已属不易，只有养成平时规范作图习惯，才有可能进化成用脑作图，成为解几何综合题的高手。 |
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