H5 如图1,四边形ABCD内接于⊙O,AB=AC,BD⊥AC,垂足为E,点F在BD的延长线上,且DF=DC,连接AF,CF.(1)求证:∠BAC=2∠DAC;(2)若AF=10,BC=4√5,求tan∠BAD的值. 图1 分析(1)抓住同弧上圆周角相等,BD⊥AC,AB=AC, 进行角的转化,发现所求两角的关系; (2)分成以下步骤达成目标 第一步:发现CB与CF,AF与AB关系; 第二步:解决圆内接四边形ABCD的边长及对角线长,点E分AC,BD所成的四条线段, 第三步:构造Rt△,利用正切定义求解. 实际操作(1)弧DC=弧DC=>∠DAC=∠DBC BD⊥AC=>∠ABD=90°-∠BAC, ∠ACB=90°-∠DBC=90°-∠DAC ∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°-∠BAC+∠DAC AB=AC=>∠ACB=∠ABC=> 90°-∠DAC=90°-∠BAC+∠DAC =>∠BAC=2∠DAC (2)DF=DC=>∠DCF=∠DFC=x =>∠CDB=∠CAB=2x 由(1)知∠BAC=2∠DAC=2x =>∠DAC=∠DBC= x ∠DFC=∠DBC= x =>CB=CF=4√5,且AC⊥BD =>AC垂直平分BE=>AB=AF=AC=10 在Rt△ABE和Rt△CBE中,由勾股定理得 AB^2-AE^2=CB^2-(AC-AE)^2 即100- AE^2=80-(10-AE)^2 解得AE=6,则CE=4,BE=8 在Rt△ADE和Rt△BCE中, ∠DAE=∠CBE=>tan∠DAE= tan∠CBE =>DE:AE=CE:BE =>DE=4/8×6=3=>BD=8+3=11, 由勾股定理得AD^2=9+36=45,即AD=3√5 图2 作DG⊥AB,G为垂足(见图2) 在Rt△ADG和Rt△BDG中,由勾股定理得 AD^2-AG^2=BD^2-(AB-AG)^2 即45- AG^2=121-(10-AG)^2 解得AG=6/5,则BG=44/5,DG=33/5 所以tan∠BAD=DG/AG=33/5÷6/5=11/2 综述本题作为福建今年中考几何压轴题,常规常法,谈不上有多难。但过程繁复,细节琐碎,估计“烦”倒一大批人。 第(1)问,在圆中,主要是利用同弧上圆周角相等,进行角的转换,抓住已知的垂直,等腰关系,发现角之间数量关系,令人眼花缭乱,容易迷失方向,务必紧扣求证的两角,发散思维去找与此相关其他角; 第(2)问,抓住圆内接四边形,对角线互相垂直的特点,反复利用勾股定理建立模型(方程),去求线段长,可以搞定圆内接四边形中所有线段长,这个过程重复两次,解方程,再用勾股定理和相似或三角函数求线段长,还有涉及开方运算等细节处,要反复演算多次,才放心。但期间运算结果不一致时,极易影响情绪而生烦,所以也是对考生心理素质的考验。 |
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来自: 当以读书通世事 > 《073-数学(大中小学)》