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初三几何特训加强版之三角形
一、主要知识点回顾
1.一般三角形的性质：内角和等于 ，一个外角等于与它不相邻的 的和，且大于任何一个与它 的内角和；任意两边的和大于 ，任意两边的差小于 。 2.三角形中的重要线段：中线、高线、角平分线、中线。 3.特殊三角形的性质： （1）等腰三角形：等边对等角；“三线合一”； （2）直角三角形：两个锐角互余；30°角所对直角边等于 的一半；斜边上的 等于斜边的一半；斜边的平方等于两直角边的 。 4.全等三角形的判定方法： 。 全等三角形的性质： 。 5.相似三角形的判定方法： 。 相似三角形的性质： 。 6.三角形的中位线定理： 。 7.直角三角形的斜边上的中线等于： 。 8.三角函数的定义（在Rt△ABC中，如图1）
9.解直角三角形： （1）在解直角三角形中，知道其中的两个元素（至少有一个是边）后，就可以求出其余的元素。 （2）解直角三角形，只有下面两种情况：1 ；2 。
二、例题精讲
例1. 如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，EA⊥AD，M是AE上一点，∠BAE=∠MCE， ∠MBE=45°。（1）求证：BE=ME；（2）若AB=7，求MC的长。
变式练习1.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图3所示放置，图4是由它抽象出来的几何图形，点B，C，E在同一直线上，连结DC。 （1） 请找出图4中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2） 证明：DC⊥BE。
例2. 如图5，在△ABC中，∠BAC=2∠C。 （1） 在图中作出△ABC的内角平分线AD；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明过程）。 （2） 在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由。
变式练习2，如图6，已知：在矩形ABCD中，AB=6，点P在AD上， （1） 如果∠BPC=90°，求证：△ABP∽△DPC. （2） 在（1）中，当AD=13时，求tan∠PBC。
例3.目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图8所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°． （1）求大楼与电视塔之间的距离AC； （2）求大楼的高度CD（精确到1米）
变式练习3.如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
例4. 将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3． (1) 将△ECD沿直线l向左平移到图(2)的位置，使E点落在AB上，则CC′=______； (2) 将△ECD绕点C逆时针旋转到图(3)的位置，使点E落在AB上，则△ECD绕点 C旋转的度数=______； (3) 将△ECD沿直线AC翻折到图(4)的位置，ED′与AB相交于点F，求证AF=FD′．
变式练习4. 把一副三角板如图甲放置，其中 （1）求 （2）求线段AD1的长； （3）若把三角形D1CE1绕着点
三、巩固与提高
（A）巩固练习 1.如图12，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP’重合，如果AP=3,那么PP’的长等于（ ） A.
2.一个等腰三角形底边的长为5cm，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3cm，则腰长为（ ） A. 2cm B. 8cm C. 2cm或8cm D. 10cm 3.已知，如图13， 在△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则∠A的度数是（ ） A. 30° B. 36° C. 45° D. 54° 4.在下列四个结论中，正确的是（ ） A.三角形的三个内角中最多有一个锐角；B.等腰三角形的底角一定大于顶角； C.钝角三角形最多有一个锐角； D.三角形的三条内角平分线都在三角形内。 5.四条线段的长度分别为4、6、8、10，可以组成三角形的组数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6.如图14，将△PQR向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移后的坐标是（ ） A. （-2，-4） B. （-2,4） C. （2，-3） D. （-1，-3）
7.如图15，∠BAC=∠ABD，请你添加一个条件： ，使OC=OD，（只添加一个即可）。 8.如图16，D,E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC， 9．如图，△ABC在方格纸中，（1）请在方格纸上建立直角坐标系，使点A坐标为（1，3），并求出这时点B，点C的坐标；（2）以原点O为位似中心，相似比为3，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A’B’C’；并计算△A’B’C’的面积S。
10.如图18，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=6，cosA=
（B）能力拓展 1.如图19，在Rt△ABC内有变长分别为a、b、c的三个正方形，则a、b、c满足的关系式是（ ） A. b=a+c B. b=ac C. 2.如图20，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是 。 3．如图21是一山谷的横断面示意图，宽AA′为15m，用曲尺（两直尺相交成直角）从山谷两侧测量出OA=1m，OB=3m，O′A′=0.5m，O′B′=3m（点A，O，O′A′在同一条水平线上），则该山谷的深h为 m．
图19 图20 图21 4. 已知：如图22，在等边三角形ABC中，D、E别为BC、AC上的点，且AE=CD，连结AD、BE交于点P，作BQ⊥AD，垂足为Q．求证：BP=2PQ．
图２２
四、自我检测：
1.已知：一等腰三角形的两边长x，y满足方程组
2.等腰三角形的底角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
3.如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ）
4.如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∠A的度数是（ ）
5.在直角三角形中，一条边长为a，另一条边长为2a，那么它的三个内角的比为（ ）
6.若直角三角形斜边上的中线等于最短的直角边长，那么它的最小内角为（ ）
7.如图，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=210m，∠D=30°，要正好能使A、C、E成一直线，那么E、D两点的距离等于（ ）
第3题 第4题 第7题 8.如果两个多边形的面积比为9：4，那么这两个多边形的比为（ ）
9.如图，下列条件不能△ABC与△ADE的是（ ）
10.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是（ ）
11.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
12.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，sin∠B=
13.如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD长为（ ）
14.河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比是1：
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