几何画板解析2017年广西玉林倒二（几何背景）

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（2017·广西玉林）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF．

（1）求证：四边形EDFG是正方形；

（2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．

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【图文解析】

（1）简析：由已知条件（O为EF的中点，GO=OD ）可得到四边形EDFG是平行四边形。如下图示：

       下面进一步证明四边形EDFG中有一邻边相等和一个内角为直角。

       由于D是等腰直角△ABC斜边上的中点，因此通常连接CD，即可得到相关重要结论，如下图示：

       不难证得∴△ADE≌△CDF（SAS），所以DE=DF，∠ADE=∠CDF．

因∠ADE+∠EDC=90°，进一步又得到∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°.

    结合上述所得到的结论知，四边形EDFG是正方形．

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（2）由（1）证明知：四边形EDFG是正方形，所以S_{四边形EDFG}＝DE²，因此当DE最短时，四边形EDFG的面积最小.如下图示：

       因E是边AC上的动点，根据“垂线段最短”可知，当DE⊥AC于E时，DE最小，如下图示：

       此时，四边形的顶点G与C点重合，不难证得E是AC的中点，同时DE＝1/2AC＝2.如下图示：

       所以正方形的面积为2²＝4.

    综上所述，当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4．

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【拓展】将本题的条件“E，F分别是AC，BC上的点”改为“E，F分别是直线AC，直线BC上的点”，相关结论仍然成立，如下图示：

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