如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,E,F分别是AC,BC上的点(点E不与端点A,C重合),且AE=CF,连接EF并取EF的中点O,连接DO并延长至点G,使GO=OD,连接DE,DF,GE,GF. (1)求证:四边形EDFG是正方形; (2)当点E在什么位置时,四边形EDFG的面积最小?并求四边形EDFG面积的最小值. 考点分析: 正方形的判定与性质;二次函数的最值;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形. 题干分析: (1)连接CD,根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD,结合AE=CF可证出△ADE≌△CDF(SAS),根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=∠CDF,通过角的计算可得出∠EDF=90°,再根据O为EF的中点、GO=OD,即可得出GD⊥EF,且GD=2OD=EF,由此即可证出四边形EDFG是正方形; (2)过点D作DE′⊥AC于E′,根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度,从而得出DE的取值范围,再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值. 解题反思: 本题考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形以及全等三角形的判定与性质,解题的关键是:(1)找出GD⊥EF且GD=EF;(2)根据正方形的面积公式找出4≤S四边形EDFG<8. |
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