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变式角度一：特殊点变一般点 1-1 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F， 求证：AE=EF. 思路解析：通过一题多解，我们知道此题可以从以下5个角度去思考：截长法，补短法，旋转，折叠，列方程。（相似和共圆不适合初二学生） 从这5个视角出发，寻求变式题型的解法。 此题中点消失，变成了一般点，但是全等依旧存在。 如图，作截线： 辅助线作法：如图，在AB上取一点H使BH=BE，并连接HE 证法简答：由等腰直角三角形HBE可得∠AHE=∠ECF,HA=EC 从而得到△AHE全等于△EFC 最后证得AE=EF 从这里我们可以知道，中点这个条件在此题中是无关紧要的。 变式角度二：动点运动到延长线上 2-1如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的延长线上一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F， 求证：AE=EF. 2-2 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边CB的延长线上一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F， 求证：AE=EF. 解析： 此题点E在延长线上了，那么上题截取线段证全等的方法还能用吗？ 思考前，我们看一组动画： 通过动画可以看出点E运动过程中AE=EF的关系是不会改变的。 点E在延长，那截取的线段是否也可以延长？ 如图，延长BA至点H使BH=BE，并连接HE 证法简答：由等腰直角三角形HBE可得∠H=∠HEB=45°，AH=CE 由AD平行BC可得∠DAE=BEA,接着得到重要的角等∠HAE=∠CEF 然后证明图中两个阴影三角性全等。 最后推出AE=EF，问题得证。 变式2-2同理作辅助线如下 总结一下： 此题变式点E发生了移动，但是截取的方法并没有改变，当然在实际截取的过程中，还会遇到困难，也就是不知道从哪里截取，特别是变式2-2，题中图形会给我们强大的误导性，所以，具备拨开云雾看本质的能力很重要！。知道截取方法了，还有一个困难会是导角，例如变式2-1，导角很麻烦。所以具备耐心是解此题重要素质。 变式角度三：条件和结论互换 3-1如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，AE=EF， 且EF交正方形外角的平分线CF于点F， 求证：∠AEF=90°. 3-2如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，AE=EF， 且EF交正方形外角的平分线CF于点F， 求证：∠AEF=90°. 3-3 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，∠AEF=90°，AE=EF， 求证：CF是正方形外角的平分线. 思路解析： 条件和结论互换之后，会发现问题3-1的难度竟然上升了一个台阶！ 提供一种方法：
如图，延长AB和FC交于点H，并连接HE 证法：可得到三角形HBC为等腰直角三角形，即BC=BH,∠2+∠3=45° 后证△ABE全等于△HBE可得∠3=∠4，HE=AE=EF,∠1=∠2 又由∠1+∠5=45°,可得此题重要结论∠3=∠5=∠4 然后有∠ABE=90°可推出∠AEF=90° 点评：此题用截取法恐行不通，照以上作辅助线恐很难想到，但是如果了解该题题源可以有5个角度去思考：截长法，补短法，旋转，折叠，列方程。（相似和共圆不适合初二学生），那么利用折叠的方法，也可以得出此题解法，只是最终导角略显麻烦。 最后不得不说，此题看似简单，其实并不简单。 变式3-2方法与上一致。 变式3-3可采用截取法证法，辅助线与1-1雷同。 变式角度四：半角模型 4-1 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F ，AF与边CD交于点H，求证：BE+DH=HE
思路简析： 没想到此题还能变出一个半角模型，如果没有前面1-1进行铺垫，初见此题，恐怕一般学生都会折戟沉沙。 思考有两个难点，第一证∠EAF等于45°，也就是证AE=AF；第二证BE+DH=HE 第一个难关，通过1-1方法可以得到， 第二个难关，利用见半角作旋转即可以得到。 如图：
作辅助方法：如图，延长CD至点M使DM=BE，连接AM 证法:可证两次全等，最后得到结论。 特注：上述答案解析和编辑都是个人仓促所为，因人力有限，欠缺严谨工整，还请见谅。 长按关注动态： |
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