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练习： 1．（2019春期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的一点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． （1）如图1，当点E是BC的中点时，猜测AE与EF的关系，并说明理由． （2）如图2，当点E是边BC上任意一点时，（1）中所猜测的AE与EF的关系还成立吗？请说明理由． 2．（2016春·江岸区月考）如图，AC是正方形ABCD的对角线，点P是AC（异于A、C）上一动点，PE＝PB交直线CD于E． （1）试判断PB与PE的位置关系，并予以证明； （2）如图：如果P为正方形外一点，且∠BPC＝135°，试判断PA与PC的位置关系，并予以证明． 答案： 1．【解答】解：（1）AE＝EF， 理由是：如图1，取AB的中点G，连接EG，则AG＝BG， ∵四边形ABCD是正方形，BE＝EC， ∴AG＝BG＝BE＝EC，∠B＝∠BCD＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠BGE＝45°， ∴∠AGE＝135°，∵CF是外角平分线， ∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°， ∴∠AGE＝∠ECF，∵∠AEF＝90°， ∴∠CEF+∠AEB＝90°，∴∠CEF＝∠BAE， 在△AGE和△ECF中，∠CEF＝∠BAE,AG=CE,∠AGE＝∠ECF， ∴△AGE≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF （2）AE＝EF成立， 理由是：如图2，在AB上截取G，使AG＝CE，连接EG， ∵四边形ABCD是正方形，AG＝CE， ∴BG＝BE，∠B＝∠BCD＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠BGE＝45°， ∴∠AGE＝135°， ∵CF是外角平分线， ∴∠ECF＝135°， ∴∠AGE＝∠ECF，∵∠AEF＝90°，∴∠CEF+∠AEB＝90°， ∴∠CEF＝∠BAE， 在△AGE和△ECF中，∠CEF＝∠BAE,AG=CE,∠AGE＝∠ECF， ∴△AGE≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF． 2．【解答】解：（1）PB⊥PE， 如图1，过P作PM⊥CD于M，PN⊥BC于N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝∠ACD＝45°， ∴PM＝PN， 在Rt△PBN和Rt△PEN中，PN =PM, PB=PE， ∴Rt△PBN≌Rt△PEN，（HL）， ∴∠BPN＝∠EPM， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCA＝90°， ∴四边形PNCM是正方形， ∴∠NPM＝90°， ∴∠BPE＝∠BPN+∠CPN＝∠CPN+∠EPM＝90°， ∴PB⊥PE； （2）PA⊥PC， 如图2，过B作BE⊥BP交CP的延长线于点E ∵∠BPC＝135°，∴△BEP为等要直角三角形，∴∠E=∠BPE=45°，BP=BE ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC ∴△ABP≌△CBE（SAS），∴∠E=∠APB=45°，∴∠APC=135°-45°=90° ∴PA⊥PC．
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