 今天是中秋佳节，想起张九龄的《 望月怀远》：海上生明月，天涯共此时；情人怨遥夜，竟夕起相思；灭烛怜光满，披衣觉露滋；不堪盈手赠，还寝梦佳期。在此祝大家中秋快乐，尽享天伦！  前些天李建国老师给出了一道经典问题，引起老师们的讨论，原题如下： 已知△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，F是DE的中点，连接BE，AF交于点G，求证:AF⊥BE 参与讨论的老师有黄喆兄，李寅老师等。李寅老师给出很多精彩的解法图片，包括构造重心，感受到李老师解题能力的深厚，学习了！高馨老师利用休息时间进行了整理，有一点感动。对以上老师深表感谢！我做了些修改和补充，增加了解析法和梅氏方法，请大家指正！ 一见此题，可联想到证垂直可能有如下思路： 1.通过相似或三角比证角 2.勾股定理逆定理证边 3.斜率乘积为-1 4.联想高，或者构造垂心等 下面我就从构造形似、解析法、构造重心等角度浅谈一下本题的解法。 一．相似的转化 视角一：由射影型的比例线段直接转化 分析   过程 分析  视角二：射影型与中位线的组合 本题的中点提示我们可构造中位线，以DE为边的三角形，取BD的中点H，联结FH,AH： 分析  过程   类似方法还有以下几种 1°延长DA到点H，使AH=DA 分析  过程  2°取AE的中点H，联结HF 3°取CE的中点H，联结DH 分析 过程 视角三：射影型与梅氏定理的组合 有截线的地方梅氏定理就会重出江湖！ 过程 二、构造垂心 三、解析角度 结束语 我感觉本题应该可以用勾股定理的逆定理证明，不过运算量可能大些。另外若交换“F是DE的中点”、“求证:AF⊥BE”，即先由垂直证明F为DE中点，再反之结合同一法说明，可能也是一条思路。有兴趣的读者也可通过反证法尝试，即假设AF与BE不垂直，推出F不是DE中点即可。若您还有什么高见请联系我，我会认真研究！ |
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