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放缩法是指在证明不等式时，根据需要证明不等式的值适当的放大或缩小，使它化繁为简，化难为易，从而达到证明的重要方法。 它是利用不等式的传递性，对照所证目标进行合情合理的放大或缩小的过程。 放缩法的合理运用，往往能收到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递了，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。 笔者通过多年的教学实践证明，若能坚持以下“四个有利于的原则”进行合理的放缩，则容易直达解题目标。 1 坚持放缩后有利于求出其和的原则 当所证明不等式的其中一边是某一数列的前n项和，但其和不易求出时，则可以对其通项作合理的分析，通过适当的放大或缩小得到一个易于求出其和的新数列，再注意放大或缩小后的数列的前n项和与不等式的另一边相衔接，从而使问题得到解决。 问题反思 这两题是关于自然数的不等式，较常规的解法是选择数学归纳法证明；若用数学归纳法证明本题，其过程会是个“马拉松”式的工程。 而上述证法的基本思路是通过放缩后能有利于用“拆项消去法”、“同分母相加”来求出其和。就把无限和复杂的问题转化为有限和简单的问题了，自然比常规常规方法便捷了许多。比如说例1，本来运算复杂的问题,通过把每一项作恰当的放大，把一项拆成了两项之差，再求解。  2 坚持放缩后有利于求出其积的原则 如证明不等式的其中一边是某一数列的前n项乘积，但其积不易求出，则可对各项作适当的放大或缩小，使其积易于求出，并注意和不等式的另一边的对话，往往能使问题得到解决。 问题反思 在上述证明中，通过引进Ａ的“对偶式”Ｂ,使其过程更加简捷，把复杂的问题简单化。当然本题也可用数学归纳法加以证明，若用归纳法证明，其复杂的程度可想而知。 3 坚持放缩后有利于减少变量的原则 若不等式的一边为常数，另一边是含有多个字母的代数式，则可把这个代数式看成是关于这些字母的多元函数，通过对多元函数的合理放缩，逐步减少变量，最终得到那个常数即可。 问题反思 事实上，上述解法的基本思路是先把α看成常数，求出关于β的函数的最小值，“解决” β后，再求关于α的函数的最小值即可。 4 坚持放缩后有利于取到等号的原则 用放缩法证明不等式时，最不易把握的是放和缩的度，放得过大，缩得过小都会导致解题失败，当不等式能取到等号时，则每一步的放和缩都不能和等号成立条件相矛盾，即等号成立条件可以看成是进行放缩的“导航仪”。 问题反思  在平时的数学活动中，特别是在证明不等式的时候，如果始终坚持科学辩证严谨的数学思想，始终把握好放与缩的“度”，它终会给我们带来“柳暗花明又一村”的。 【来源】高中数学解题研究会。 |
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