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《易经新论》连载（33） 数千年来，人们热议《易经》的卦象、卦义或者哲理，把它尊为群经之首，但对它的数学内容与意义却极少有人涉及。本文在这里将它的数学内涵公之于众，希望读者对《易经》内容有一个全新的理解，希望读者对《易经》在世界上的数学贡献有一个颠覆性的认识。 《易经》创建了辉煌的数学体系一、《易经》 创建了伟大的二进制体系 1、 创建了二进制并实际进行了应用 在《易经》中，应用如图一所示的先天八卦图表现了八卦的存在与循 环，其中八卦卦象与顺序如图二所示（顺序的得来已经在连载八中论述）。这里要注意的是，八卦卦象的方向应该以先天八卦图的中心向外看为准。 这里的卦象由两个元素组成，一个 。众所周知，二进制中也是由两个元素组成，一个是0，一个是1。卦象中的 可以与1对应，因此，可以得到图三所示的对应关系。如果将它们按自然顺序排列则如图四所示。 按此规律，可以得到全部六十四卦卦象的二进制表示形式，也可以得到它们的十进制数值，它们的具体对应关系如图五所示。 卦象的二进制表示形式不仅满足数值的表示，同时也满足二进制的计算规则，卦象表示的数值相加减可以得到另一个数值，也同时得到另一个相对应的卦象，因此，传统所说的卦象实际是二进制的成熟表示方式。 2、卦象为现代的二进制奠定了基础 《易经》中娴熟地运用了二进制，所谓卦象与变化就是二进制数字的不同表示方式。这套二进制从表示方式到运算规律都完全符合现代二进制的规律，所以它是成熟的。这套成熟的二进制否定了莱布尼茨发明二进制的说法，并且将二进制的产生时间提前了数千年，所以对传统观念二进制的产生应该重新认识。 二、《易经》创建了平面图形及其规律 1、卦象建立平面图形并暗涵规律图形 在图一的先天八卦中，可以看出每一卦就是一个平面图形，这是由卦象建立起的平面图形。又可以看出，先天八卦是一个事物的循环运动，但这是一个圆形，而事物运动并不都是以标准的圆形运动，它们存在自己运动的规律与轨迹。 先天八卦以数字的形式表示并以0为起点的排列是01537624，众所周知数字不单单可以表示数值，它还可以表示为斜率，将这些数字表示为斜率，并且按图一的运动高峰改变斜率的正负，可以得到图六的图形。 图六是一个暗涵于先天八卦图中的图形，这是一个人们视而不见的图形，这不是一个普通的图形，这是一个具有非常重要意义和作用的图形。 2、卦象揭示了事物运动普遍规律 《易经》中存在的两仪、四象、八卦、六十四卦都是不同的状态，但 它们实际上都是不同的运动周期，这里面最重要、最基础的是八卦的周期。要反映事物运动的实际过程，周期的形态必须与事物运动的实际过程相符，先天八卦的图形表现的是周期与无限循环的表面形式，真正代表事物运动全过程的图形是通过其中暗涵的图形表示出来的。 图六的图形以形象与直观的数学方式揭示了事物发展的上升性与前进性、周期性与曲折性、回复性与循环性，这些性质是事物运动的普遍特点。由于它的不断循环与发展，所以它显示的是波浪式前进的事物发展的普遍客观规律。正是由于图六图形以数学的形式反映出事物运动的普遍规律，所以它成为了《易经》立论的基础，成为了《易经》的基本规律，并由它构成了《易经》结构的框架。 三、《易经》创建了辉煌的几何学基础 1、卦象构成立体图形 在现代的立体坐标系中，为标志一点的空间位置通常用(x，y，z)这样的形式来表示，在《易经》中，单卦的三位数表示形式正好与这样的形式相符。如兑卦 就可以表示为011的形式，得到了兑卦的立体坐标，如此，可以得到八个卦的立体坐标如图七所示，把它简化一下，得到八卦的标准立体坐标，如图八所示。
这里的
三卦分别表示一维的坐标，单位都为1，因此可以用它们组成三维的坐标系如图九所示。按照八卦的立体坐标，可以得到八卦的立体图形如图十所示，这就是三维图像在《易经》中的应用，也就是八个卦象构成了立体几何图形。
2、卦象为现代几何学奠定了基础 卦象本身是一个平面图形，从认识平面图形到建立立体图形是一次飞跃，这个飞跃对建立空间观念、提升对点、线、面、体、角的认识、加深对理论及理论联系实际的认识、提高解决问题的能力和创造性等都有重要意义，同时，是为现代几何学奠定了基础。 四、《易经》创建了多时空的立体概念和图形 1、 双立体结构的创建与应用 《易经》中的八卦是卦象的基础形式，通过它们才能组合出六爻的重卦。重卦是《易经》的主要形式，通过它们才能产生出全部的卦义与卦序等。同样，它们也可以构成立体的形式，而且是双立体的形式。 从图五中可以提取出上下卦相同的八个纯卦，它们的卦象如图十一所示，将它们转化为各卦的立体坐标则如图十二所示。可以看出，这是在图九坐标系的基础上再加上一个坐标系，形成如图十三所示的双重的坐标系，有了这个双重的、也就是重卦的坐标系就很容易得到八个纯卦的立体图如图十四所示，这就是八个纯卦构成的多时空立体几何图形。
2、 卦象为现代拓扑学奠定了基础 图十四中小立方体的卦象是在大立方体的内部所以称为内卦，它们表示的内容是主体运动的过程和状态；同理，在大立方体上的卦象就称为外卦，它们表示的内容是客观的运动过程和状态；外卦与内卦的组合就是重卦，表示整体的运动和状态。图十四的图形反映出两种状态、两个周期相辅相成的联系，也反映出主体与外界的、主观与客观的相互关系与影响，实际上就是反映出事物存在与运动的本质联系。 这种双立体图形可以引申出多重的立体结构，使人类文明有一个质的 飞跃，它为研究空间及存在的完整性、连续性、无限性和相关性奠定了基础，也就是为现代的拓扑学奠定了基础。 五、《易经》创建了现代化学的结构与图形 1、 双立体结构建立化学的图形 将图十四细化一下，可以得到图十五所示的图形，可以明显的看出，在外卦构成的大立方体中包含有八个相同的小立方体，每一个小立方体都由八个卦组成，而八个这样的小立方体就构成了《易经》的全部六十四卦。在每一个小立方体中，由唯一的外卦引领，它与八个内卦分别连接，得到重卦的八个卦象，同时得到它们的路径和位置如图十六所示，这样由一个外卦引领八个内卦的形式称为一宫。图十六所示是兑宫的立体与各卦路径，结合八宫在立体中的位置，就得到八宫各卦位置与路径如图十七所示。
大立方体上有八个顶点，这些顶点的卦象就是重卦的外卦（上卦）卦象，内部小立方体的卦象就是重卦的内卦（下卦）卦象，每个外卦的卦象分别与内卦的八个卦象组合，可以得到六十四个重卦的卦象，也就是图五所示的全部六十四个重卦卦象。将这些卦象在双立体中表示出来就如图十八所示，这是六十四卦在双立体中的位置与路径图形。图十九表示的是兑宫的八个重卦及参数，上述结构构成了现代化学的图形。 2、卦象为现代化学奠定了基础 通过图十五与图十七可以看出，在八宫的立方体中，每一个节点都有卦象的存在，而每一个节点之间都有不同的路径进行连接，这样的结构构成即美丽又复杂的图形。这样的结构以现代化学知识诠释即为物质的内部结构，它即表示物质的存在形式又表示物质的性质，即表示晶体的化学组成又表示晶体的发展与运动等。图二十显示的是氯化钠（NaCl）的晶胞结构，可以看出它与《易经》显示的立体结构完全相同，现代的化学知识在数千年前的《易经》中已经存在了，所以说，《易经》的卦象为现代化学奠定了基础。
六、《易经》创建了现代组合学的形式与规律 1、卦象构建起排列组合的基础 《易经》卦象的结构由六爻组成，这六爻可以分成上卦三爻与下卦三爻两部分，具体如图二十一所示。上卦的三爻是八卦之中的一个卦象，这个卦象按八卦的顺序循环和显示；同理，下卦也按八卦的顺序循环和显示，它们如此的循环并组合得出重卦的六十四卦卦象，这是卦象的整体组合形式。无论在单卦还是在重卦中，都能看到阴阳两个元素的数量与位置问题，相同数量的阴阳元素由于位置不同而产生卦象的不同，不同数量的阴阳元素更是产生不同的卦象，这即是卦象的排列问题又是它的组合问题，卦象的六爻结构构建起排列组合的形式和规律。 2、卦象为现代的组合学奠定了基础 排列组合是组合学最基本的概念，它可以从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，具有认识问题与解决问题的方法论意义。通过对卦象与排列组合的认识与了解，可以增强抽象思维能力与创新能力，可以深刻理解事物的量变形式对质变的影响，也可以深刻理解位置问题对量变与质变的影响，从而可以提升解决实际问题的能力。 地球上的物质都是由化学元素排列组合而成的，化学元素都是由基本粒子排列组合而成的，事实上，整个世界就是排列组合的应用与实现，《易经》的卦象为现代的组合学奠定了基础。 《易经》中存在着大量的数学内涵，二进制与十进制的表达和运算、平面图形与立体图形、静止图形与运动图形、排列与组合、斜率与规律等，并且这些数学内涵都发生在数千年前，它们充分体现出中国上古的辉煌数学成就。《易经》中数学内涵的存在与运用否定了传统观念中中国对世界数学没有贡献的说法，所以对中国在世界数学中的历史地位应该重新认识；同时，通过数学意义内涵的扩展，可以看到《易经》卦象能够成为众多学科的基础，因此，对《易经》能够成为群经之首、万教之本的崇高历史文化地位应该增加更深刻的认识。 --------------------- 作者：于雁鸣 工作单位：原黑龙江省科委分析测试中心，任重要领导职务，后下海创办个体研究所，继而专心研究哲学与《易经》。 ----------------- |
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