高考倒计时 | 每日一道高考题，助力高考得高分（38）

 本周更新理数，下周更新文数

小数老师说：

节后第一天，大家状态怎么样啊，新的一周开始了，赶快投入学习状态哈

（全国I卷模拟 ·理数· 15）

15．已知函数f（x）=（x+2）（x²+ax﹣5）的图象关于点（﹣2，0）中心对称，设关于x的不等式f（x+m）＜f（x）的解集为A，若（﹣5，﹣2）⊆A，则实数m的取值范围是　     

先自己思考

本题考点

集合的包含关系判断及应用；函数的图象．

题目分析

根据题意可知f（﹣4）+f（0）=0，由此可知求出a，f（x+m）﹣f（x）＜0等价于3x²+3（m+4）x+m²+6m+3＜0，利用（﹣5，﹣2）⊆A，即可求出实数m的取值范围．

题目解析

解：∵函数f（x）=（x+2）（x²+ax﹣5）的图象关于点（﹣2，0）中心对称，

∴f（﹣4）+f（0）=0，

∴a=4，

∴f（x）=（x+2）（x²+4x﹣5）=x³+6x²+3x﹣10，

f（x+m）＜f（x）等价于f（x+m）﹣f（x）＜0，

f（x+m）﹣f（x）=m[3x²+3（m+4）x+m²+6m+3]

若m＞0，f（x+m）﹣f（x）＜0等价于3x²+3（m+4）x+m²+6m+3＜0，

由题意3×（﹣5）²﹣15（m+4）+m²+6m+3≤0且3×（﹣2）²﹣6（m+4）+m²+6m+3≤0，

∴3≤m≤6且﹣3≤m≤3，

∴m=3，

同理，m＜0时，m=﹣3，

故答案为：{3，﹣3}．

本题点评

本题考查集合的包含关系，考查函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．