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我们知道,在求极限时,常会遇到两个无穷小之比的极限或两个无穷大之比的极限.这些极限有的存在,有的不存在.通常称这类极限为...[展开] 我们知道,在求极限时,常会遇到两个无穷小之比的极限或两个无穷大之比的极限.这些极限有的存在,有的不存在.通常称这类极限为'未定式'.利用第一章的方法求未定式的极限通常是困难的,本节介绍一种简单而有效的方法——洛必达(L'Hospital)法则.1.型未定式的极限求法若当()时,与均趋于0,则称相应的极限为型未定式.洛必达法则I 若与满足:(1) ,;(2) 在点的某去心邻域内,与均存在,且;(3) 存在(或为),则有(1)法则I的证明从略.注 法则I是对时的型未定式给出的,对于()时的型未定式同样适应. 例1 求下列极限:(1) ; (2) .解 (1) 该极限为型,故.(2) 由于时,,故此极限为型.因此.在利用洛必达法则求极限时,若仍为型未定式,且函数与满足法则I的条件,则可再使用该法则.但在连续应用洛必达法则时,应注意每一步检验是否仍为未定式,不是未定式时不能再用该法则.例2 求.解.在利用洛必达法则求极限时,还要注意尽量将式子化简以利于求导.例3 求极限(1) ; (2) .解 (1) 原式 ;(2) 原式.2.型未定式的极限求法若当()时,与均趋于,则称相应的极限为型未定式.洛必达法则II 若与满足:(1) ,;(2) 在点的某去心邻域内,与均存在,且;(3) 存在(或为),则有.注 法则II对于()时的型未定式同样适应.例4 求极限.解 原式.例5 设,求.解 当时,对数函数于幂函数()均为增函数且趋于.原极限为型未定式..由例5可知,当时,对数函数的增长速度比幂函数慢.例6 设,求.解 由于,指数函数和幂函数当时均为增函数,且当时均趋于.故.由例6可知,当时,指数函数的增长速度比幂函数快.在使用洛必达法则求未定式极限时,必须注意一个问题:当不存在时,不一定不存在.例7 求.解 此极限为型未定式.若用洛必达法则,则得极限.由于为周期函数,上式的极限不存在,也不为.但是,即原极限存在.一般当用洛必达法则求不出未定式的极限时,要想其他办法求极限.某些极限可以先化为型或型未定式,再用洛必达法则求极限.3.型和型未定式例8 求下列极限:(1) ; (2) .解 (1)这是型未定式,将其变形为则当时视为型未定式,因此.(2) 这是型未定式,可先通分化为型,再求极限..例9 求极限:(1) ; (2) .解 (1) 原式.(2) 原式=3.*4.型未定式例10 求下列极限:(1) ; (2) .解 (1) 这是型未定式,将其变形为则当时视为型未定式,因此.(2) 这是型未定式,可先通分化为型,再求极限..例11 求极限(1) ; (2) ;(3) ; (4) .解 (1) 原式. 注.(2) 原式===1.(3) 原式=1.(4) 原式.[收起] |
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