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对大部分学生而言，考卷中的第23题实在太伤神，所要求的几何功底不是一朝一夕就能形成的，需要同学们在平时学习数学中，体会每一类题的条件，结论，从而进行联想，发散，大胆尝试，从而形成最终的解答思路以及辅助线的相关作法。但有时发现，有些题就是我们平时训练中的基本图形，只不过隐藏在这些几何综合题中，这时需要考生能根据图形，在大脑中形成画面，或补全图形或构造基本图形，从而实现最终破解。 下面笔者对2016年四调题做一个基本的解读，此题方法很多，但我们要做的是从中寻求最优的解法。 原题欣赏： （2016武汉四调第23题，10分）如图，在△ABC中，AC＞AB，AD是角平分线，AE是中线，BF⊥AD于点G，交AE于点F，交AC于点M，EG的延长线交AB于点H． （1）求证：AH＝BH； （2）若∠BAC＝60°，求FG/DG的值． 先看第一问，基本是一道简单题，图形中AD为角平分线，并且AD⊥BF，所以根据角“平分线+垂直→三线合一”这一基本组合，可以得到G为中点，从而转换EG为三角形的中位线，得到EH∥AC，最终实现平行相似，得到AH=BH； 详细解答：（1）证明：∵BF⊥AD， ∴∠ABG+∠BAG＝90°，∠AMG+∠MAG＝90°， ∵AD是角平分线，即∠BAG＝∠MAG， ∴∠ABG＝∠AMG， ∴AB＝AM，∴BG＝MG， ∵BE＝EC， ∴GE∥AC， ∴BH/AH=BE/CE， ∴AH=BH， 第二小问我们只探究用基本图形来解，其余方法欢迎大家拍砖交流~~ 拿到第二小问，条件只增加∠BAC=60°，但要求两条线段长度的比值，所以要形成第一个思维，如何将角度转换到求线段的比值，通过观察EG，DG位于直角三角形中。看到这里后我们来看几道基本图形的结构。 基本图形1：如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，连接BE、CD交于点F，连接AF并延长交BC于点G，求证：BG＝CG． 此题是知平行线证明中点 基本图形2：如图，在△ABC中，D是BC中点，P是AD延长线上一点，CP、BP的延长线分别交AB、AC的延长线于点E、F，求证：EF∥BC． 此题是知中点证平行 笔者给一个证明思路：作BG∥EC交AP于G，连接CG，则四边形BGCP为平行四边形， 把基本图形2中点的条件换个位置： 基本图形2变式：如图，AD是△ABC的中线，P为AD上任意一点，连接BP并延长，交AC于F，连接CP并延长，交AB于E，连接EF．求证：EF∥BC． 也是知中点证平行 证明：延长PD到M，使DM＝PD，连接BM、CM，易得四边形BPCM是平行四边形， 看到这里，不知各位有没有发现上面四调题中所隐藏的基本图形呢？ 下面开始来解密： 只看红色区域部分，H为AB中点，在中线EH上取一点G，连接AG，BG与其他两边相交，这是不是就是上面那个基本图形2的变式呢？通过比较完全一致，所以连接DF，则必有DF∥AB，证明平行的方法与上面基本图形2变式的证明完全一致。有了平行，所以∠FDG=30°，求线段的比值相当于求tan30°的值， |
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