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最近几篇将逐一介绍2020年黑龙江省的中考数学几何压轴题。 本篇内容选自牡丹江中考，是倒数第3题。总体感觉难度一般，不算压轴。 但是题目考查的知识点和几何模型还是比较典型的。 因此也是非常有价值的题目，大家拭目以待吧。 【中考真题】 （2020·牡丹江）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F．请解答下列问题： （1）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE+BC＝CF；（提示：延长CD，FE交于点M．） （2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若DE＝2AE＝6，则CF＝ ． 【分析】 题（1）证明线段的和差关系，这里并不需要截长补短。 而是“角平分线+平行线→等腰三角形”。 图中MF与CF易得相等，然后进行转化即可。 题（2）是在（1）的基础上面变化而来的，所以结论的话类似。但是图②这里BC的长度是最大的，所以变成另外两个之和等于BC。而图③中最长的又变成了AE了。证明方法都差不多。 题（3）知道AE、DE的长度，那么BC的长度就知道了。再利用等量关系求出CF即可。但需要根据3个图进行分类讨论。 平行+角平分线必得等腰 【答案】解：（1）如图①，延长CD，FE交于点M． ∵AB＝BC，EF∥BC， ∴∠A＝∠BCA＝∠EFA， ∴AE＝EF， ∴MF∥BC， ∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD， 又∵∠FCM＝∠BCM， ∴∠M＝∠FCM， ∴CF＝MF， 又∵BD＝DE， ∴△MED≌△CBD（AAS）， ∴ME＝BC， ∴CF＝MF＝ME+EF＝BC+AE， 即AE+BC＝CF； （2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，BC＝AE+CF， 如图②，延长CD，EF交于点M． 由①同理可证△MED≌△CBD（AAS）， ∴ME＝BC， 由①证明过程同理可得出MF＝CF，AE＝EF， ∴BC＝ME＝EF+MF＝AE+CF； 当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，AE＝CF+BC． 如图③，延长CD交EF于点M， 由上述证明过程易得△MED≌△CBD（AAS），BC＝EM，CF＝FM， 又∵AB＝BC， ∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE， ∵EF∥BC， ∴∠F＝∠FCB， ∴EF＝AE， ∴AE＝FE＝FM+ME＝CF+BC； （3）CF＝18或6， 当DE＝2AE＝6时，图①中，由（1）得：AE＝3，BC＝AB＝BD+DE+AE＝15， ∴CF＝AE+BC＝3+15＝18； 图②中，由（2）得：AE＝AD＝3，BC＝AB＝BD+AD＝9， ∴CF＝BC﹣AE＝9﹣3＝6； 图③中，DE小于AE，故不存在． 故答案为18或6． 【总结】 等腰三角形，平行线和角平分线，知二得一。 特别是与圆有关的问题里面，经常会出现类似的图形。如下图所示。 |
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