高中数学选修3-4：对称与群

        对称是自然界一种十分重要的性质，像轴对称、中心对称。群是刻画对称性的数学概念，群论是现代数学的重要研究对象。
    学生将从丰富的平面图形对称变换的实例入手，了解变换群的概念，学习群的表达方法，学会求出一些比较简单的几何图形的对称群，并进一步体会群在研究事物对称性质和研究其他数学对象中的重要作用。
一、内容与要求
    1．通过丰富的对称图形，感受日常生活和现实世界中存在着大量对称现象。
    2．了解刚体运动的基本性质。
    3．通过分析图形的不同对称性和刚体运动，寻求刻画不同图形对称性的思想，逐步形成图形对称变换的概念。
    4．结合简单的具体图形，找出其所有对称变换。
    5．结合具体的图形实例，逐步形成对称变换合成的概念，理解对称变换合成的封闭性。
    6．结合具体的图形实例，通过操作认识对称变换满足结合律。
    7．结合具体的图形实例，通过操作，理解恒等变换的概念，逆变换的概念及其性质，针对具体的图形能找出一个对称变换的逆变换。
    8．通过具体实例，建立变换群的概念，并初步了解抽象群的概念。
    9.能借助几何直观会求出一些几何图形和具有一定对称性的简单化学分子模型的对称群。
    10．通过具体实例，了解一种群的表示方法--乘法表法。
    11.从具体的实例入手，了解一种由较为简单群构造出较为复杂群的方法之一--直积。
    12.了解群论在现实生活中的重要应用，如晶体分类定理。
    13．考察其他形式的对称变换，如代数式。通过二次、三次方程的求解过程，了解代数方程根的对称群的含义，并了解伽罗瓦利用群论方法解决方程根式解问题的科学史实，感受群论在现代数学中的重大作用。
    14．完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，对对称的数学描述和群的概念的认识。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步探讨对称在自然界中的广泛性和群对刻画对称的作用。（3）学习本专题的感受、体会。
二、说明与建议
    1.由于对称变换、变换的合成（乘法）运算等概念是比较抽象的概念，因此学习过程都应从具体的实例和恰当的情境引入，而不能从抽象的定义出发。
    2.对于中学生来说，群是一个全新的学习对象。对称变换群是把对称变换作为一个运算系统来研究，与过去所学习的数与代数式的运算系统有很大的区别。因此本专题只能以比较简单的具体的群为例。教学的重点在于使学生了解群在刻画对称性的作用，而尽量避免论述群的抽象定义和性质。同时要求学生能通过具体的几何图形的分析，学会求出一些简单几何图形的对称群，在操作实践过程中感受群的含义。
    3.晶体分类与方程的伽罗瓦理论是群论的两项重大应用成果，在本单元不能详细证明晶体分类定理和方程的伽罗瓦定理，但向学生介绍这两项成果可以使学生感受现代数学的研究方法和特点，因此做好这种介绍性工作也是本单元的教学目标之一。