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使用变换对几何图形进行分类，是几何学的重要内容，揭示在不同变换下几何图形的不变性质或不变量是研究这类问题的基本思想方法。本专题主要讨论欧拉公式和欧拉示性数等重要的拓扑不变量，并利用它们对曲线、曲面进行分类。
一、内容与要求
1．复习已学过的变换，并使用它们对平面图形分类
（1）复习平移、旋转、平面运动、反射、全等、位似、伸缩、相似变换，以及对平面图形分类。
（2）在上述变换下，探索什么几何性质是不变的。
（3）体会变换的一些基本特征：1-1对应，连续。
2． 欧拉公式
（1）通过探索发现欧拉公式的过程，理解欧拉公式。
（2）理解欧拉公式的拓扑证明。
（3）使用欧拉公式解决一些问题（如探索正多面体的个数）。
（4）探索非欧拉多面形的面数、棱数、顶点数的关系。
3． 理解曲面三角剖分的概念。
4．会对一些曲面进行三角剖分，并能计算它们的欧拉示性数。
5． 了解拓扑变换的直观含义。
6．知道一些拓扑不变量，并能用它们对一些曲线、闭曲面进行分类，了解一些曲线、闭曲面的分类结果。
7．了解拓扑思想的一些应用（如平面布线问题、一笔画问题、布劳威尔不动点定理与经济稳定点问题、四色问题）。
8．完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：
（1）知识的总结。本专题整体结构和内容的理解，以及对数学变换思想的认识。
（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步理解变换的不变量和曲面分类的思想。
（3）学习本专题的感受、体会。
二、说明与建议
1．这部分内容比较抽象，首先要复习中学阶段学过的几何变换以及分析在这些变换下不变的几何性质，并由此体会变换和变换不变量的思想。
2．引导学生探索发现欧拉公式的过程，以及对欧拉公式证明的理解，帮助学生体会数学家创造性工作，这是一个非常好的范例。
3．三角剖分是研究图形拓扑性质的重要思想方法，引导学生经历对具体曲面使用三角剖分的方法研究其性质的过程，使学生通过操作和实践学习和掌握三角剖分思想方法。
4．拓扑变换是一个非常抽象的概念，应该关注学生对拓扑变换形象和直观的理解，例如，把拓扑变换理解为橡皮变换，不要引导学生追求拓扑变换形式化的定义。
5．在介绍拓扑学应用时，应注重对拓扑思想方法的介绍，不追求严格化的叙述。
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