初中数学：勾股定理及勾股定理的运用

百眼通 2017-10-31

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1、定理内容：

文字形式：直角三角形的两直角边的平方和，等于斜边的平方。

几何形式：如果直角三角形的直角边分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ，那么

a²＋b²＝c²

2、相关知识链接：

直角三角形

1）我国古代把直角三角形中较短的直角边叫作勾，较长的直角边叫作股，斜边叫作弦；

2）汉代数学家赵爽把勾股定理叙述成：勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦；

3）国外称之为毕达哥拉斯定理；

4）也有人称勾股定理为千古第一定理。

3、勾股定理的作用：

1）已知直角三角形的两边长，求第三边长；

2）知道一边长时，能够确定直角三角形的其余两个边长之间的关系；

3）在证明含平方问题时，有时就可以考虑构造直角三角形帮助解决问题。

4、勾股定理的各种表达式

在中，，A、B、C的对边分别为a、b、c，则，，，，，。

5、定理证明及典型例题：

例1、已知：在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证：a²＋b²＝c²。

证明方法一：取四个与Ｒｔ△ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图所示的正方形。

如图，正方形ABCD的面积＝ 4个直角三角形的面积＋正方形PQRS的面积

∴ ( a ＋ b )² ＝ 1/2 ab × 4 ＋ c²

a² ＋ 2ab ＋ b² ＝ 2ab ＋ c²

故 a² ＋ b² ＝c²

证明方法二：

图1中，甲的面积＝ (大正方形面积) － ( 4个直角三角形面积)。

图2中，乙和丙的面积和＝(大正方形面积)－( 4个直角三角形面积)。

因为图1和图2的面积相等，

所以甲的面积＝乙的面积＋丙的面积

即：c² ＝ a² ＋ b²

证明方法三：

四个直角三角形的面积和＋小正方形的面积＝大正方形的面积，

2ab ＋ ( a －b ) ² ＝ c²，

2ab ＋ a² － 2ab ＋ b² ＝ c²

故 a² ＋ b²＝c²

证明方法四：

梯形面积＝三个直角三角形的面积和

1/2 × ( a ＋ b ) × ( a ＋ b ) ＝ 2 × 1/2 × a × b ＋ 1/2 × c × c

(a ＋ b )² ＝ 2ab ＋ c²

a ² ＋ 2ab ＋ b² ＝ 2ab ＋ c²

故 a² ＋ b²＝c²

例2、在Rt△ABC，∠C＝90°

⑴已知a＝b＝5，求c。

⑵已知a＝1，c＝2，求b。

⑶已知c＝17，b＝8，求a。

⑷已知a：b＝1：2，c＝5，求a。

⑸已知b＝15，∠A＝30°，求a，c。

分析：⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的变形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。

解：由a² ＋ b²＝c²得，

（1）c²＝ 5² ＋ 5²＝50，即：c＝；

（2）1² ＋ b²＝2²，b²＝3，即：b＝；

（3）a² ＋ 8²＝17² ，a²＝225，即：a＝15；

（4）由a：b＝1：2得，b＝2a，

则：a² ＋ (2a)²＝5²

即：a＝；

（5）由∠A＝30°得，c＝2a，

则：a² ＋15²＝(2a)² ，

解得：a＝，c＝2。

例3、已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。⑴求等边△ABC的边AB上的高CD。⑵求S△ABC。

分析：等边三角形的每边上的高、中线和该边所对的角的角平分线，三线合一。

解：（1）∵△ABC 是等边三角形

CD⊥AB

∴CD平分AB

∵△ABC的边长是6cm

∴AD＝BD＝AB＝3 cm

在直角三角形ACD中，

AD²＋CD²＝AC²

3²＋CD²＝6²

CD＝

（2）S_△ABC＝AB·CD＝×6×＝3 （cm²）

例4、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？

分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形。如图，图中△ABC的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000，米欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于△ABC的斜边AB＝5000米，AC＝4000米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算。