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初中数学:勾股定理及勾股定理的运用

2017-10-31  百眼通

1、定理内容:

文字形式:直角三角形的两直角边的平方和,等于斜边的平方。

几何形式:如果直角三角形的直角边分别为a、b,斜边为c,那么

a2b2c2


2、相关知识链接:

直角三角形

1)我国古代把直角三角形中较短的直角边叫作勾,较长的直角边叫作股,斜边叫作弦;

2)汉代数学家赵爽把勾股定理叙述成:勾股各自乘,并之为弦实,开方除之即弦;

3)国外称之为毕达哥拉斯定理;

4)也有人称勾股定理为千古第一定理。


3、勾股定理的作用:

1)已知直角三角形的两边长,求第三边长;

2)知道一边长时,能够确定直角三角形的其余两个边长之间的关系;

3)在证明含平方问题时,有时就可以考虑构造直角三角形帮助解决问题。


4、勾股定理的各种表达式

    中,ABC的对边分别为abc,则

 

5、定理证明及典型例题:

例1、已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证:a2b2c2

证明方法一:取四个与Rt△ABC全等的直角三角形,把它们拼成如图所示的正方形。

如图,正方形ABCD的面积  4个直角三角形的面积  正方形PQRS的面积

 ( a  b )2  1/2 ab × 4  c2

a2  2ab  b2  2ab  c2

 a2  b2 c2

证明方法二:

1中,甲的面积  (大正方形面积 ( 4个直角三角形面积)

2中,乙和丙的面积和=(大正方形面积)( 4个直角三角形面积)

因为图1和图2的面积相等,

所以甲的面积=乙的面积+丙的面积

即:c2  a2  b

证明方法三:

四个直角三角形的面积和 +小正方形的面积 =大正方形的面积,

2ab  ( a b ) 2  c2

2ab  a2  2ab  b2  c2

 a2  b2c

证明方法四:

梯形面积  三个直角三角形的面积和

1/2 × ( a  b ) × ( a  b )  2 × 1/2 × a × b  1/2 × c × c

(a  b )2  2ab  c2

2  2ab  b2  2ab  c2

 a2  b2c2


例2、在Rt△ABC,∠C=90°

⑴已知a=b=5,求c。

⑵已知a=1,c=2, 求b。

⑶已知c=17,b=8, 求a。

⑷已知a:b=1:2,c=5, 求a。

⑸已知b=15,∠A=30°,求a,c。

分析:⑴已知两直角边,求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边,求另一直角边,用勾股定理的变形式。⑷⑸已知一边和两边比,求未知边。

解:a2  b2c2得,

1c2 52  5250   即:c

212  b222b23,即:b

3a2  82172 a2225,即:a15

4)由ab12得,b2a

则:a2  (2a)252

即:a

5)由A30°得,c2a

则:a2 152(2a)2 

解得:ac2


例3、已知:如图,等边△ABC的边长是6cm。⑴求等边△ABC的边AB上的高CD。⑵求S△ABC。

分析:等边三角形的每边上的高、中线和该边所对的角的角平分线,三线合一。

解:1)∵△ABC 是等边三角形

CDAB

CD平分AB

∵△ABC的边长是6cm

ADBDAB3 cm

在直角三角形ACD中,

AD2CD2AC2

32CD262

CD

2SABCAB·CD×6×3 cm2


例4、飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处,过了 20 秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,飞机每小时飞行多少千米?

分析:根据题意,可以先画出符合题意的图形。如图,图中△ABC的∠C90°,AC4000米,AB5000,米欲求飞机每小时飞行多少千米,就要知道20秒时间里飞行的路程,即图中的CB的长,由于△ABC的斜边AB5000米,AC4000米,这样BC就可以通过勾股定理得出,这里一定要注意单位的换算。

解:由勾股定理得

 BC3千米

飞机 20秒飞行千米.那么它 l 小时飞行的距离为:

(千米/时)

答:飞机每小时飞行 540千米。


例5、如图在中,的平分线AD交BC于D,求证:

证明:

平分


例6、如图,在中,于D,求CD的长。

解:是直角三角形

,由勾股定理有

答:CD的长是24cm


7、在一棵树的10m高的B处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处,另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处,如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高?

分析:如图所示,其中一只猴子从30m,另一只猴子从也共走了30m。并且树垂直于地面,于是此问题可化归到直角三角形解决。

解:如图,设,由题意知

中,,解之得

答:这棵树高15m

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