教学目的 1.使学生了解数是在人类社会的生产和生活中产生和发展起来的,了解虚数产生历史过程; 2.理解并掌握虚数单位的定义及性质; 3.掌握复数的定义及复数的分类. 教学重点 虚数单位的定义、性质及复数的分类. 教学难点 虚数单位的性质. 教学过程 一、复习引入 原始社会,由于计数的需要产生了自然数的概念,随着文字的产生和发展,出现了记数的符号,进而建立了自然数的概念。自然数的全体构成自然数集. 为了表示具有相反意义的量引进了正负数以及表示没有的零,这样将数集扩充到有理数集 有些量与量之间的比值,如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果,无法用有理数表示,为解决这种矛盾,人们又引进了无理数,有理数和无理数合并在一起,构成实数集. 数的概念是人类社会的生产和生活中产生和发展起来的,数学理论的研究和发展也推动着数的概念的发展,数已经成为现代社会生活和科学技术时刻离不开的科学语言和工具.
二、新课教学 (一)虚数的产生 我们知道,在实数范围内,解方程 是无能为力的,只有把实数集扩充到复数集才能解决.对于复数 (a、b都是实数)来说,当 时,就是实数;当 时叫虚数,当 时,叫做纯虚数.可是,历史上引进虚数,把实数集扩充到复数集可不是件容易的事,那么,历史上是如何引进虚数的呢? 16世纪意大利米兰学者卡当(1501—1576)在1545年发表的《重要的艺术》一书中,公布了三次方程的一般解法,被后人称之为“卡当公式”.他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家,并且在讨论是否可能把10分成两部分,使它们的乘积等于40时,他把答案写成 ,尽管他认为 和 这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的,但他还是把10分成了两部分,并使它们的乘积等于40.给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔(1596—1650),他在《几何学》(1637年发表)中使“虚的数’'与“实的数”相对应,从此,虚数才流传开来. 数系中发现一颗新星——虚数,于是引起了数学界的一片困惑,很多大数学家都不承认虚数.德国数学家菜不尼茨(1664—1716)在1702年说:“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所,它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”.瑞士数学大师欧拉(1707—1783)说:“一切形如 , 习的数学式子都是不可能有的,想象的数,因为它们所表示的是负数的平方根.对于这类数,我们只能断言,它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻.”然而,真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验,最终占有自己的一席之地.法国数学家达兰贝尔(.1717—1783)在 1747年指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是 的形式(a、b都是实数)(说明:现行教科书中没有使用记号 而使用 ).法国数学家棣莫佛(1667—1754)在1730年发现公式了 ,这就是著名的探莫佛定理.欧拉在 1748年发现了有名的关系式 ,并且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i来表示-1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位.“虚数”实际上不是想象出来的,而它是确实存在的.挪威的测量学家未塞尔(1745—1818)在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没有得到学术界的重视. 德国数学家高斯(1777—1855)在 1806年公布了虚数的图象表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,虚数也能用一个平面上的点来表示.在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C就表示复数 .象这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“高斯平面”.高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数 ,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”.他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合.统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数—一对应,扩展为平面上的点与复数—一对应.高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间—一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法.至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了. 经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不虚呵.虚数成为了数系大家庭中一员,从而实数集才扩充到了复数集. 随着科学和技术的进步,复数理论已越来越显出它的重要性,它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据. (二)、虚数单位 1.规定i叫虚数单位,并规定: (1) (2)实数与它进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立 2.形如 ( )的数叫复数,常用一个字母z表示,即 ( ) 注:(1) ( )叫复数的代数形式; (2)以后说复数 都有 ; (3)a叫复数 ( )的实部记作 ;b叫复数 ( )的虚部,用 表示; (4)全体复数的所成的集合叫复数集用C表示. 例1.指出下列复数的实部、虚部: (1 (2) (4) (5) (6) (7) (8)10 3. 复数 ( )当 时z是实数,当 时,z是虚数.
例2. ( )取什么值时,复数 是( ) (1) 实数 (2) 纯虚数 (3) 零 解:∵ ,∴ , (1)z为实数,则 解得: 或 (2) z为实数,则 解得: (3)z为零,则 解得:
虚数不虚 在学习开方时,总是要再三强调,被开方数一定要是非负数,被开方数为负数时,开方没有意义,众所周知,人们对事物的认识总是螺旋式上升的。现在,我们知道对负数进行开方可以用来表示一个虚数。 在很久以前,大多数学家都认为负数没有平方根。到1545年,意大利数学家卡尔丹在所著《重要的艺术》的第37章中列出并解出把10分成两部分,使其乘积为40的问题,方程是x(10-x)=40,他求得根为 ,然后说,“不管会受到多大的良心责备”,把 相乘,得乘积为25-(-15)或即40,卡尔丹在解三次方程时,又一次运用了负数的平方根。卡尔丹肯定了负数的平方根的用处,但当时,人们对它的认识也仅止于此。 “实数”、“虚数”这两个词是由法国数学家笛卡尔在1637年率先提出来的。而用i= 表示虚数的单位是18世纪著名数学家欧拉的功绩。后来的人在这两个成果的基础上,把实数和虚数结合起来,记成 形式,称为复数。 在虚数刚进入数的领域时,人们对它的用处一无所知,实际生活中也没有用复数来表示的量,因而,最初人们对虚数产生怀疑和有一种不接受的态度。莱布尼兹称虚数是既存在又不存在的两栖物。欧拉尽管用它,但也认为虚数是虚幻的。 测量学家维塞尔用表示平面上的点。后来,高斯的复平面的概念,使复数有了真正的立足之地,从上复数就开始表示向量(有向量的数量),在水力学、地图学、航空学中有着日益广泛的应用。
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