笛卡尔、牛顿、莱布尼茨都曾否认它的存在，但它却让人类数学走到意想不到的高度

面对“不可能”

除了茫然，还有努力突破

今天，超模君就来讲一讲在“数”的分类中，一个几乎包含所有数的分类——复数的故事。

有模友或许会说，复数发展的故事，不就是源于对x^2+1=0的求解嘛？有什么不得了的地方嘛？

No、No、No，其实复数发展的历史，复杂程度远超你的想象。

复数的第一次出现，是在1500年的时候。

一位名字叫舒开的法国人，在解一元二次方程4+x^2=3x时，得到了两个他怎么看都不对劲的根：

很明显，根号里的9/4-4，其结果是一个负数。当时人们对开方这种运算的认识是：只有正数才能够进行开方运算，得到平方根，而负数则不行。所以理所当然地，法国人只是耸耸肩，认为这不过是一个错误的答案，并不是什么值得挖掘的事实。

但是，自此之后，“负数开方”这种运算，就时不时地出现在人们的视野里。

直到1545年，一位意大利医生卡当，在仔细研究了一份从别人手里拿到的、关于一元三次方程求解方法的手稿后，公布了一元三次方程的一般求根公式：

随着这个公式一起公布的，还有一个奇怪的情况：

当常数项一半的平方小于一次项的三分之一的立方时，就会出现“负数开方”这样的运算。

比如说，对方程x^3=15x+4使用卡当给出的公式时，会得到这样一个答案：

可是该方程却确实存在x=4和另外两个实数解。如果卡当的公式没有出错，那么公式算出的根和实际存在的根又有什么关系呢？

那么只剩下一种可能：确实存在一种“负数开方”的运算，使得卡当公式求出的方程根和实数根相互转化。

卡当将自己的结果公布了出来，不久之后，另一位意大利数学家邦别利继续对一元三次方程进行研究。而他的研究结果，也证实了卡当公式的正确性和“负数开方”这样的运算存在。

邦别利研究的一元三次方程是x^3=7x+6，他给出了这个方程的三个实根：3、-2、-1。而用卡当公式算出的结果为：

这再次说明了，只有解决了“负数开方”这种运算，才能够真正实现一元三次方程的完整求解。

值得庆幸的是，邦别利和卡当的研究，吸引了很多数学家来研究这个“负数开方”的问题。

1633年，笛卡尔正式给出了“虚数”的称谓，来指代“负数开方”的结果，不过他并不承认虚数的存在。牛顿也是如此，他认为虚数并不能够在他的物理世界中得到意义，所以拒不承认虚数的存在。

牛顿：你不能够在我的世界中找到位置，所以你不存在……

面对刚诞生的虚数，不少数学家都直接表达了自己的不理解：

莱布尼茨说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐蔽所，它大概是存在和虚妄的两栖物。”

欧拉说：“一切形如根号一的数学式子都是不可能有的、想象的数，因为它们表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不必什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”

不过不理解归不理解，在后期的工作中，莱布尼茨却让虚数参与到运算中来。正是这份勇气，让对复数的研究大大推进了不少。

1730年，具有法国血统的数学家棣莫佛在他的“关于级数和求积的综合分析”一书中，提出了著名的“棣莫佛公式”：

这个公式帮助人们了解了一个复数开n次方根的问题，也帮助人们了解卡当公式求出的方程根如何跟实数根相互转化的问题。

之所以说棣莫佛公式帮助人们了解了一个复数开n次方根的问题，是因为棣莫佛将一个复数写成了z=r（cosθ+isinθ）的形式，而并非后来高斯提出的z=a+bi，但是这两者是等价的。（其中，r为a与b的平方和的平方根，θ为复数z的平面向量与x轴的夹角）再运用上述的公式就很容易得到一个复数开n次方根的答案。

至此，复数的概念开始站稳脚跟，但依旧有些“虚无缥缈”——它没有太多的实际运用，人们只是知道它是“负数开方”的结果而已。

然而率先给复数以实际运用的是一个测量员。1799年，测量员维塞尔在他的“方向的解析表示”中，第一次给出了复数的几何解释：用平面上的点来表示复数。紧接着，一位日内瓦的会计师阿尔冈，给出了复数的模的概念。

一时之间，复数的“身影”，变得真实起来。

而真正给复数正名的，还是一位数学家——德国的数学王子高斯。1831年，他在研究四次同余时，正式提出用平面上的点来表示复数，并给出复数的表达式：

其中a称为“实部”、b称为“虚部”。高斯还给出了复数运算规则等一系列有关复数的知识，并将复数运用于物理力学等领域，让复数真正地成为人们的有力工具。

现代复数的运用多在物理学领域。比如在描述电场和磁场时，复数的存在可以让两者的强度完美叠加，却又不会混淆在一起。

可以看到，复数的诞生，源于一个“不可能”的答案。面对这个“不可能”的答案，舒开选择了无视，卡当选择了公布、邦别利选择了深入研究，笛卡尔虽然给出“虚数”的名称，却不承认其存在，直到棣莫佛和高斯的努力，才把这个“不可能”的答案，变成一个人尽皆知的概念，一个现代科学研究的“利器”。