典型例题 例1 计算 。 解法1:原式 解法2:原式 小结:一定要熟记 , , , 等。 例2 复数 等于( ) A. B. C. D. 分析: 可利用 与 形式非常接近,可考虑 ,利用 的性质去简化计算. 解:
∴ 应选B. 注意:要记住1的立方根,1, , ,以及它们的性质,对解答有关问题非常有益. 例3 求 分析1:可将复数式进行乘、除运算化为最简形式,才取模. 解法1:原式
分析2:积或商的模可利用模的性质 , ( )进行运算. 解法2:原式
小结:比较解法1和解法2,可以看到后一种解法好.解此类问题应选用后种解法. 例4 已知 是纯虚数,求 在复平面内对应点的轨迹. 分析:利用Z为纯虚数 来解. 解法2:∵ 是纯虚数, ∴ (且 , ) ∴ , ∴
设 ( ) 则 ( ) ∴ 的对应点的轨迹以( ,0)为圆心, 为半径的圆,并去掉点(0,0)和点(1,0).
例5 设 为复数, ,那么( ) A. {纯虚数} B. {实数} C.{实数} {复数} D. {虚数} 解:∵ ,即 , ∴ ,故 ,或 所以 为实数. ∴ 应选B. 小结:在复数集中,要证复数 为实数,只须证 我们有如下结论.复数 为实数的充要条件是 例6 若 , ,试求 解:∵ , ∴ 又知 , ∴ 设 ( ),则 , ∴ 即 , 由复数相等定义 解得 ∴ 故 小结:下面这些共轭复数运算式,对于解答有关共轭复数问题十分重要,应掌握好. 设
(
)的共轭复数为
, ; ; ; ; ( ); ( ) 例7
(1)已知
,
, (2)已知 , ,且 求证: , 中至少有一个是1. 证明:(1)
∴ (2)∵ ,∴
即 变形为 , 或 ,可得 ,或 , ∴ , 中至少有一个是1. |
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