基于广义Pareto分布的大坝警告指标拟定方法

张海龙,马 斌,梁亚平

(西京学院土木工程学院,陕西西安710123)

摘 要：将极值理论中的广义Pareto分布模型用于大坝预警指标拟定中是一个行之有效的方法,该方法通过设定某一阈值,以监测序列超过该阈值的实测值为分析样本,并认为该样本服从广义Pareto分布。由于阈值的选取关系到广义Pareto分布参数估计的精度,而用超限期望图法确定的阈值具有较大的主观性误差,因此,从定义出发,通过数学推导,建立了自动选取阈值的方法。通过实例分析表明,采用自动选取法确定阈值的广义Pareto分布拟定的大坝预警指标更加合理。

关键词：大坝预警指标；广义Pareto分布；自动选取法；阈值

0 引 言

借助各种数学和力学方法拟定大坝安全预警指标是评判大坝安全运行状态的重要手段之一,其主要任务是根据大坝对历史荷载的抵御能力来评估和预测大坝对未来不利荷载工况下的抵御能力,从而确定不利荷载工况下各效应量的警戒值或极值[1-3]。目前,大坝安全预警指标拟定的方法大致可分为两种：一种是根据原型监测数据序列资料,采用小概率法进行统计分析,是一种纯粹的数学分析法；另一种是通过建立坝体坝基有限元模型,计算不利荷载工况下的效应量警戒值,属于结构计算法。数理统计法应用范围广,可操作性强,是最常用的拟定方法,但是要求较长的监测序列资料,且需要事先假定样本的分布概率函数；结构计算法力学概念明确,计算结果可靠,但对于复杂的坝体坝基建模难度大,且通常需要对坝体坝基物理力学参数进行反演分析,计算工作量大。

为了克服上述大坝安全预警指标拟定方法的局限性,苏怀智[4]、聂兵兵[5]等将极值理论(Extreme Value Theory,EVT)中的广义Pareto分布模型(Generalized Pareto Distribution,GPD)用于大坝安全预警指标拟定中,该模型以监测数据序列中所有超过某一阈值的监测值为分析样本,较小概率法扩大了样本容量,保留了更多的极值信息,适用于监测序列较短的大坝安全预警指标拟定。广义Pareto分布模型最主要的问题是对模型参数进行估计,常用的方法有极大似然法[6]、Bayes估计法[7]、罚函数法[8]等,其中,极大似然函数法最为常用。在估计模型参数前,需要事先根据某一方法确定阈值u,如果阈值u取得太大,则超限样本数量较少,模型参数估计偏差较小,但模型参数估计方差增大；如果阈值u取得过小,则超限样本数量太多,模型参数估计偏差较大。因此,合理选取阈值u至关重要。文献[4-5]采用超限期望图法确定阈值u,该方法建立阈值u与超限期望函数估计值的曲线图,选取足够大的临界阈值u0,使得当x≥u0时超限期望函数估计值为近似线性变化作为确定阈值的依据,该方法为人为选取,具有较大的主观性,且有时候构造的曲线图不止只有一段呈近似线性变化,因此,为消除人为选取带来主观误差,本文根据数学推导,采用自动选取法确定阈值u。

1 自动选取法的基本原理

广义Pareto分布基本理论见文献[4]。对于给定的一个大坝监测数据序列{x1,x2…xn},假定阈值为u,超过阈值u的监测数据个数为nu,yi=xi-u(i=1,2,…,nu)，由广义Pareto分布概率密度函数根据极大似然法可得广义Pareto分布函数参数的对数似然函数

(1)

式中,ξ为广义Pareto分布函数的形状参数；σ为广义Pareto分布函数的尺度参数；n为监测数据序列的总个数；y={y1,y2,…,ynu}。阈值u选取是否合理关系到参数ξ和σ的精度。下面介绍自动选取法确定阈值u的基本原理。

设阈值为u0时的超限样本近似服从广义Pareto分布,则对于任意u>u0确定的超限样本也近似服从广义Pareto分布,且两者形状参数ξ相同,尺度参数σ关系如下[9]

σu=σu0+ξ(u-u0)

(2)

令u1,…,um为等值递增的阈值和为第j个阈值uj下的极大似然估计,若u是一个合适的阈值,则对于任意u≤uj-1≤uj,根据式(2),有

(3)

可得

σuj-σuj-1=ξ(uj-uj-1)

(4)

令

(5)

由极大似然估计可得

(6)

则

E(Nuj-Nuj-1) = =σuj-σuj-1-ξ(uj-uj-1) =0

(7)

由式(7)可以看出,Nuj-Nuj-1在阈值u选取合适的情况下近似服从均值为0的正态分布。因此,可选取均值最接近0对应的阈值为合理的阈值u。

2 大坝安全预警指标拟定

根据自动选取法确定了阈值u,则可根据式(1)确定参数ξ和σ,由广义Pareto分布概率密度函数可求出超限样本的分布函数F(x)为

(8)

对式(8)进行求导,可得超限样本的概率密度函数f(x)=F-1(x),令xm为大坝监测效应量的警戒值,当x>xm时,大坝运行可能发生失事,其失事概率为

P(x>xm)=Pa=f(x)dx

(9)

根据大坝的等级和失事后果可以确定大坝的失事概率Pa,则xm的估计值为

(10)

3 基于广义Pareto分布的大坝安全预警指标拟定步骤

基于广义Pareto分布的大坝安全预警指标拟定步骤如下：

(1)根据实测资料序列,对数据进行升序排列。

(2)根据自动选取法确定阈值u。①构造等值递增的阈值序列u1,…,um,u1可取为0,um可取为90%监测序列总样本对应的测值；②得到ui(i=1,2,…,m-2)对应的超限样本,由此计算广义Pareto分布参数ξi和σi；③对于所有ui≤uj-1≤uj(j=i+1,i+2,…,m),计算Nuj-Nuj-1(j=i+1,i+2,…,m),并计算该正态分布序列的均值和方差；④取均值最接近0对应的阈值ui为合理的阈值。

(3)根据极大似然法估计广义Pareto分布参数。

(4)根据大坝等级和失事后果确定大坝运行允许失事概率。

(5)拟定大坝预警指标。

4 实例分析

某多年调节水库大坝位于安徽省长江支流青弋江上,主体为混凝土重力坝,由28个坝段组成,最大坝高76.3 m,坝顶长419 m。现以该大坝8号坝段坝顶径向水平位移监测数据为例,采用本文方法和小概率法拟定该坝段的预警指标。其中,监测序列从2000年1月1日～2012年12月31日,共657组数据。符号规定向下游变形为正,向上游变形为负。

为了突出对比,采用超限期望图法和自动选取法确定阈值u。超限期望图见图1。根据图1a,按照选取规则,大致可确定求位移上限值的阈值u=2 mm 或u=4 mm,超限样本数为662个或173个,超限样本数不能太多,因此u=4 mm较为合理；根据图1b,取求位移下限值的阈值u=3.5 mm,超限样本数为94个。

图1 超限期望图

根据不同方法确定的广义Pareto参数估计见表1。

表1 广义Pareto参数估计

项目超限期望图法自动选取法阈值u/mm上限值44814下限值353213超限样本数上限值17366下限值94176形状参数ξ上限值-0510-0218下限值-0375-0416尺度参数σ上限值09870350下限值03660509

根据该大坝等级与失事后果,设大坝允许失事概率为1%,则根据不同方法拟定的该大坝8号坝段坝顶径向水平位移预警指标见表2。

表2 不同方法拟定的大坝变形预警指标

预警指标/mm广义Pareto分布自动选取法超限期望图法小概率法上限62515858628下限14981772123

由表2可以看出,阈值采用自动选取法确定的广义Pareto分布模型拟定的大坝变形预警指标与小概率法拟定的预警指标较为接近,但自动选取法拟定的预警指标较为安全。阈值采用超限期望图法确定的广义Pareto分布模型拟定的大坝变形预警指标因受人为主观性影响,拟定的预警指标较为保守。因此,将自动选取法用于阈值确定的广义Pareto分布模型用于大坝预警指标拟定中是合理的,同时还可以克服人为带来的主观性误差。

5 结 论

本文借助广义Pareto分布函数研究了大坝安全预警指标拟定实现方法,并结合具体工程实例进行了验证,可得到如下结论：

(1)基于广义Pareto分布拟定大坝预警指标选用的样本为超过某一阈值的所有监测序列组成,较小概率法扩大了样本容量,保留了更多的极值信息,对于监测序列短的情况也同样适用。

(2)采用自动选取法确定阈值能够避免因人为选取带来的主观误差,能够保证广义Pareto分布函数的参数估计精度。

参考文献：

[1]SU H Z, WEN Z P, WU Z R. Study on an intelligent inference engine in early-warning system of dam health[J]. Water Resources Management, 2011, 25(6): 1545- 1563．[2]谷艳昌, 王士军. 水库大坝结构失稳突发事件预警阈值研究[J]. 水利学报, 2009, 40(12): 1467- 1472．

[3]李明超, 刘菲, 陈卫国. 多因素作用下大坝安全响应结构图仿真与分析[J]. 水利学报, 2011, 42(11): 1355- 1360．

[4]苏怀智, 王锋, 刘红萍. 基于POT模型建立大坝服役性态预警指标[J]. 水利学报, 2012, 43(08): 974- 978．

[5]聂兵兵, 赵二峰, 殷详详, 等. 基于极值理论的大坝变形监控指标拟定[J]. 水电能源科学, 2015(12): 101- 104．

[6]SCOTT D G. Computing Maximum Likelihood Estimates for the Generalized Pareto Distribution[J]. Technometrics, 1993, 35(2): 185- 191．

[7]BERMUDEZ P D Z, TURKMAN M A A. Bayesian approach to parameter estimation of the generalized pareto distribution[J]. Test, 2003, 12(1): 259- 277．

[8]PILLO G D, GRIPPO L. Exact penalty functions in constrained optimization[J]. Siam Journal on Control & Optimization, 1989, 27(6): 1333- 1360．

[9]殷英. 基于广义Pareto分布理论下的高温阈值选取[D]. 扬州： 扬州大学, 2011．

(责任编辑 焦雪梅)

Warning Index Development of Dam Monitoring Based on Generalized Pareto Distribution

ZHANG Hailong, MA Bin, LIANG Yaping
(School of Civil Engineering, Xijing University, Xi’an 710123, Shaanxi, China)

Abstract：It’s an effective method to develop warning index of dam monitoring by using generalized Pareto distribution of extreme value theory. By setting a threshold value, the overrun samples are selected from monitoring data which exceed the threshold value and the samples are considered to obey generalized Pareto distribution. Since the accuracy of parameters of generalized Pareto distribution is affected by the selection of threshold value and the threshold value which is computed by exceeded expectation diagram method has a large subjective error, therefore, the auto select method of threshold value is established through mathematical derivation from the definition. The result of case study indicates that the warning index of dam monitoring which are developed by using generalized Pareto distribution are more reasonable．

Key Words：warning index of dam monitoring; generalized Pareto distribution; auto select method; threshold value

收稿日期：2016- 09- 26

基金项目：陕西省教育厅科学研究项目(15JK2171)

作者简介：张海龙(1982—),男,陕西宝鸡人,讲师,工程师,硕士,主要从事水工结构工程数值计算方面工作．

中图分类号：TV698.1

文献标识码：：A

文章编号：：0559- 9342(2017)06- 0097- 03