高考数学专题讲解：三角函数（九）

高考数学专题讲解：三角函数（九）

第十六部分：三角函数的单调性计算

【题型模型】

【模型一】：求函数的单调性。

【解法设计】：（1）当且时：单调性不变

当时：单调递增；

‚当时：单调递减。

（2）当且时：单调性改变

当时：单调递减；

‚当时：单调递增。

（3）当且时：单调性改变

当时：单调递减；

‚当时：单调递增。

（4）当且时：单调性不变

当时：单调递增；

‚当时：单调递减。

【模型二】：求函数的单调性。

【解法设计】：（1）当且时：单调性不变

当时：单调递增；

‚当时：

单调递减。

（2）当且时：单调性改变

当时：单调递减；

‚当时：

单调递增。

（3）当且时：单调性改变

当时：单调递减；

‚当时：

单调递增。

（4）当且时：单调性不变

当时：单调递增；

‚当时：

单调递减。

【模型二】：求函数的单调性。

【解法设计】：（1）当且时：单调性不变

当时：

函数单调递增。

（2）当且时：单调性改变

当时：

函数单调递减。

（3）当且时：单调性改变

当时：

函数单调递减。

（4）当且时：单调性不变

当时：

函数单调递增。

【三角函数的单调性的相关例题】

【例题一】：【2017年高考数学浙江卷】已知函数。

（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间。

【本题解析】：根据三角函数的半角公式得到：，，

。

。

根据三角函数的辅助角公式得到：

。

；

当时：函数单调递增。

所以：当时：函数单调递增。

【本题答案】：，当时：函数单调递增。

【第例题二】：【2016年高考理科数学天津卷第15题】已知函数。

（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；

（Ⅱ）讨论在区间上的单调性。

【本题解析】：根据三角函数的诱导公式得到：；

根据三角函数的同角之间的基本关系得到：；

根据三角函数的两角差公式得到：；

。

根据三角函数的半角公式得到：，；

。

①当时：

函数单调递增；

②当时：

函数单调递减；

所以：当时：，函数单调递增；

                  ，函数单调递减。

当时：，函数单调递增；

            ，函数单调递减。

所以：，函数单调递减；

      ，函数单调递增。

【本题答案】：，函数单调递减；

，函数单调递增。

【例题三】：【2016年高考文科数学山东卷第17题】设。

（Ⅰ）求单调递增区间；

【本题解析】：（Ⅰ）根据诱导公式得到：；

。

当：时：函数单调递增；

所以：当时：函数单调递增。

【本题答案】：（Ⅰ）当时：函数单调递增。

【例题四】：【2016年高考文科数学北京卷第16题】已知函数的最小正周期为。

（Ⅱ）求的单调递增区间。

【本题解析】：根据三角函数的半角公式得到：

；

根据三角函数的辅助角公式得到：

。

；

当时：的单调递增。

所以：当时：函数单调递增。

【本题答案】：当时：函数单调递增

【三角函数单调性的跟踪训练】

【跟踪训练一】：【2014年高考文科数学四川卷】已知函数。

（Ⅰ）求的单调递增区间；

【本题解析】：

【跟踪训练二】：【2014年理科理科数学福建卷】已知函数。

（Ⅰ）若，且，求的值；

（Ⅱ）求函数的最小正周期以及单调递增区间。

【本题解析】：

【跟踪训练三】：【2014年高考文科数学福建卷】已知函数。

（Ⅱ）求函数的最小正周期以及单调递增区间。

【本题解析】：

【跟踪训练四】：【2014年高考理科数学辽宁卷】将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数（        ）

A、在区间上单调递减                 B、在区间上单调递增

C、在区间上单调递减                 D、在区间上单调递增

【本题解析】：

【跟踪训练五】：【2013年高考数学上海卷】即是偶函数又在区间上单调递减的函数是（       ）

A、          B、            C、           D、

【本题解析】：

【跟踪训练七】：【2013年高考理科数学安徽卷】已知函数（）的最小正周期为。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）讨论在区间上的单调性。

【本题解析】：

【跟踪训练八】：【2013年高考理科数学上海卷】已知函数，其中常数。

（Ⅰ）若在上单调递增,求的取值范围；

【本题解析】：

 

【跟踪训练参考答案】

【跟踪训练一】：【2014年高考文科数学四川卷】已知函数。

（Ⅰ）求的单调递增区间；

【本题解析】：（Ⅰ）

当时：

函数单调递增。

【本题答案】：（Ⅰ），函数单调递增；

【跟踪训练二】：【2014年理科理科数学福建卷】已知函数。

（Ⅰ）若，且，求的值；

（Ⅱ）求函数的最小正周期以及单调递增区间。

【本题解析】：

。

函数的最小正周期：。

当时：

函数单调递增。

【本题答案】：（Ⅱ）；，函数单调递增；

【跟踪训练三】：【2014年高考文科数学福建卷】已知函数。

（Ⅱ）求函数的最小正周期以及单调递增区间。

【本题解析】：

当时：

函数单调递增。

函数的最小正周期：。

【本题答案】：；当时：函数单调递增。

【跟踪训练四】：【2014年高考理科数学辽宁卷】将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数（        ）

B、在区间上单调递减                 B、在区间上单调递增

C、在区间上单调递减                 D、在区间上单调递增

【本题解析】：函数的图像向右平移个单位长度得到：

；

（1）、当时：

函数单调递增；

（2）、当时：

函数单调递减。

【本题答案】：

【跟踪训练五】：【2013年高考数学上海卷】即是偶函数又在区间上单调递减的函数是（       ）

A、          B、            C、           D、

【本题解析】：根据和为奇函数，为偶函数得到：

是奇函数；为偶函数；为奇函数；为偶函数。

：单调递增；单调递减；

：单调递增；单调递减；

：单调递增；单调递减；

：单调递增；单调递减。

【本题答案】：

【跟踪训练七】：【2013年高考理科数学安徽卷】已知函数（）的最小正周期为。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）讨论在区间上的单调性。

【本题解析】：（Ⅰ）

。

；

（Ⅱ）；

（1）、当时：函数单调递增；

（2）、当时：函数单调递减；

（3）、当时：函数单调递增。

【本题答案】：（Ⅰ）；

（Ⅱ）当时：函数单调递增；

      当时：函数单调递减；

      当时：函数单调递增。

【跟踪训练八】：【2013年高考理科数学上海卷】已知函数，其中常数。

（Ⅰ）若在上单调递增,求的取值范围；

【本题解析】：；

当时：函数单调递增；

且且，。

【本题答案】：；