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12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案： 已知数列其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推．求满足如下条件的最小整数：且该数列的前项和为的整数幂．那么该款软件的激活码是 ( ) A． B． C． D．  正确答案为A. 分析与解分段考虑数列  该数列的前  项的和为  要使得  ，有，此时，所以是之后的等比数列的部分和，也即所以，最小的，此时，对应最小的满足条件的 16．如图，圆形纸片的圆心为 ，半径为 ，该纸片上的等边三角形 的中心为 ． 为圆 上的点， 分别是以 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以 为折痕折起 ，使得 重合，得到三棱锥．当 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：)的最大值为_______．  分析与解连接 ，交 于 ，如图  设 ，则 ，  ，  ．所以  当时取等号． 20．已知椭圆  ，四点 、、 、 中恰有三点在椭圆 上． (1)求 的方程； (2)设直线 不经过 点且与 相交于 两点．若直线 与直线 的斜率的和为 ，证明： 过定点． 分析与解(1)根据椭圆的对称性，可知 在椭圆 上，所以椭圆方程为 (2)将坐标系向上平移一个单位，如图 椭圆方程化为 即 设直线 对应的直线 为 ，则化齐次联立，得 整理得 结合两直线斜率之和为 ，得 即 所以直线 恒过点 ，在原坐标系中，直线 过点 ． 21．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围． 分析与解(1)的导函数为 当时，； 当时，在区间 上有，在区间 上有． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在 上单调递减，在 上单调递增． (2)令，即，所以有 于是函数有两个零点，即与 的图象有两个交点． 的导函数为 当时，；当时，时，所以在上单调递增，在上单调递减，且在处取得最大． 当时，与至多有一个零点，不符合题意； 当时，由于当时，，而当时，是单调递增，所以与至多有一个交点，不符合题意； 当时，一方面，由于且在上单调递增，所以与在上有且仅有一个交点． 另一方面，取 ， 所以在 上，有 且在区间 上单调递减，于是与在区间 上有且仅有一个交点． 综上，当时，函数有两个零点． 关于数海拾贝 “数海拾贝”由中国最顶尖的高中数学教研老师兰琦和金叶梅主编。第一个栏目《每日一题》，每天精选一道高中数学好题，从破题的思路，图文并茂的讲解到精辟到位的总结，同学们每天只要花上10分钟认真阅读和思考，一定能在两三个月获得明显的进步，在高考中取得好成绩。如果您想表达自己独到的见解（或有意见及建议），请发送至shsb@guangzixuexi.com。 |
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