【课程】西南科大网教学院_数学分析18_5.3 泰勒公式

5.3 泰勒公式

5.3.1 泰勒定理

    在初等函数中，计算最简便的函数是多项式函数，这是因为在多项式中只有加、减、乘三种运算．由此我们联想到：如果将复杂的函数近似地用多项式表示出来，而误差又能满足要求．显然，这对函数性质的研究与函数值的（近似）计算都会带来很大的方便．

    为此，我们首先讨论特殊的函数    多项式，若函数是n次多项式

将它改写为：， 则

．

其中是在处的k阶导数，而．于是

    如果对任意一个函数（不一定是多项式），只要函数在点a存在n阶导数，我们总可以写出一个相应的多项式

    称为函数在a的n次泰勒多项式．现在，我们讨论n次泰勒多项式与函数在a的邻域内的关系．

    定理5.3.1（泰勒定理）若函数在点a处存在直到n阶导数，则

其中（）．上式称为函数在点a处的泰勒公式

（或泰勒展式），称为泰勒公式的余项．

    证法：逐次用柯西定理和导数的定义．

    证明：将定理4.3.5中的表达式改写为

 

    …………

   

于是有，            

.

 

现在证明．

    分子是函数，分母是函数，应用次柯西中值定理：

，

.

（至此应用了次柯西中值定理）最后，得

当时，，根据导数的定义有

同理可证：                ．

从而,                      ．                       □

    特别地，若函数在点处存在直到n阶导数，则定理4.3.5中表达式变为：

并称为函数的马克劳林公式（或马克劳林展式）．

由定理5.3.1可得定理5.3.2.

定理5.3.2 设在点处存在直到阶导数, 且=

=…=, , 则与在处是等价无穷小.

 5.3.2 泰勒余项

    定理4.3.5指出：若函数在a存在直到n阶导数，则在a的邻域内可用函数在a的n次泰勒多项式

来近似表示．即, .  其误差为

=．这个误差表达式也称为皮亚诺余项．泰勒公式的皮亚诺余项

表示余项是的高阶无穷小（）．皮亚诺余项只是给出余项的定性描述，还不能进行定量估计．为此还要进一步讨论余项的定量表达式，我们有下面的定理．

    定理5.3.2 若函数在存在直到阶连续导数，则，泰勒公式

其中: ．

证 （x暂时固定），有

 

对，作辅助函数

显然，函数在连续，在可导，且

而

又取函数，则在连续，在可导，且，，故由柯西中值定理，有

即

于是

        ．         □

 

    若函数在上存在直到阶连续导数，则，也有泰勒公式的余项

并且证明方法与上面的定理相同．

    泰勒公式的余项

称为拉格朗日余项．

    带有拉格朗日余项的泰勒公式是

其中，在x与a之间．

    特别地，当时，上述公式变为

    这正是拉格朗日定理．因此，泰勒定理是拉格朗日定理的推广．

    带有拉格朗日余项的马克劳林公式（或马克劳林展式）是

5.3.3 几个初等函数的泰勒展开式

    我们给出几个常用初等超越函数的马克劳林展开式．

    (1) 

    已知对任何自然数n，有．由马克劳林公式，对，有

    特别地，当时，有

应用此式可以计算e的近似值，即

而误差是．

    (2) 

已知                   ，

于是,            ．

由马克劳林公式（取），对，有

其中 :       

．

注意到： .

即, 误差不超过．

    (3)  

已知，于是,

．

由马克劳林公式（取），对，有

其中 ．

    (4)  

    已知，于是．由马克劳林公式，对，有,

其中 ．

    (5)  

    已知，于是．由马克劳林公式，对，有

其中，．

特别地，当（自然数）时，已知，从而，于是有，      

这就是中学数学中的二项式定理．

 

典型例题：

    例4.3.1  求函数的展开式，其中．

解：设，因而；又

；

所以,          ．

    例4.3.2  求．

    解：本题可用罗必塔法则求解，但比较繁琐,这里我们介绍另一种方法.由于

（）

    因为           

所以 ,

又因为      （）

故， ．

 

 

.

 

   上例用定理5.3.2处理会更为简单.