【课程】西南科大网教学院_数学分析45_13.2 第二型曲线积分

13.2第二型曲线积分

如果存在常数I，不论分割如何作，如何取，当

时，都有

则称I为沿有向曲线L的第二型曲线积分，也称为对坐标的曲线积分，记为：

 

 或                    

其中：．

    若为封闭曲线，则记为.

   定理13.2.1  如果在可求长的逐段光滑的有向曲线L上连续，则矢性函数沿有向曲线L的第二型曲线积分存在．

 

二、   第二型曲线积分的性质

 

与第一型曲线类似,第二型曲线积分也有相应的性质如下:

 

    (1) 设存在，且k为任意常数，则

．

    (2) 设 与 都存在，则

．

 

(3) 设有向弧段是由有向弧段首尾相衔而成的,并且

   

均存在，则存在，并且

.

    (4) ，其中表示有向弧段L的反方向弧段．

   

　　三、   第二型曲线积分的计算

 

第二型曲线积分的计算也是化为定积分来计算的.设曲线:

是平面内的光滑曲线,又设对应于的起点,对应于的终点(这里不一定小于).当由变到时,点描出有向曲线,并且 在上连续,

则

代入第二型曲线

积分便得第二型曲线积分计算公式:

 

          

几点说明:

    (1) 起点A对应的参数是对t积分的下限，终点B对应的参数是对t积分的上限．

　　(2) 如果有向曲线L的方程为，,则可以将x看作参数，此时有

.

这里a是曲线L的起点的横坐标，b是曲线L的终点的横坐标，a不一定小于b．

    (3) 如果有向曲线方程为,则有

.

这里c是曲线L的起点的纵坐标，d是曲线L的终点的纵坐标，c不一定小于d．

 

四、  沿空间曲线的第二型曲线积分

 

类似地可以讨论沿空间曲线的第二型曲线积分.

设空间曲线是空间中的一光滑曲线，又设对应于L的起点A，对应于L的终点B（这里不一定小于）．当由变到时， ,为L上的;连续函数,则沿从到的第二型曲线积分为

五、  两类曲线积分的联系

 

对坐标的第二型曲线积分也可转化为对弧长的第一型曲线积分．以平面曲线L为例，设L的正向是从A到B，L上任一点处的切线向量X的指向与L正向相应（图13-2-7）,记分别表示切线向量x轴，y轴正向的夹角．于是由示意图13-2-7可知:

则

这样，就把对坐标的第二型曲线积分化为对弧长的第一型曲线积分了．同样，空间第二类的曲线积分

,

可以化为如下对弧长的曲线积分

．

典型例题：

例1. 计算，其中L分别沿中路线：

    (1) （直线段）

    (2) AmB（抛物线）

    (3) ACBA（三角形回路）

    解  (1) 因AB的方程为：

所以                   .

故

                  .

(2) 曲线AmB的参数方程可为：

于是

(3) 因为

,

而由，得

;

由，得

;

由，得

;

故

．