【课程】西南科大网教学院_数学分析46_13.3 格林公式及其应用

13.3  格林公式及其应用

一、格林公式

    本节将讨论的格林(Green)公式是建立区域D上的二重积分与沿区域D的边界曲线L的第二型曲线积分之间的联系．

    为方便起见，我们规定所讨论的封闭曲线都是简单曲线，即自身不相交的曲线．

    平面区域叫做单连通的，是指在D内任画一条封闭曲线，其所围区域整个在D内（或说，任意的封闭曲线都可以不经过D以外的点而连续的收缩为一点）；否则，就叫做多连通的（即有洞的情形）．

设区域D的边界是由一条或几条光滑曲线所围成．边界曲线L的正方向规定为：当人沿边界行走时，区域总在它的左边，如图所示，若沿与上述所规定的方向相反，则称为负方向，并记为．

 定理13.3.1（Green公式）若在区域上连续且具有连续的一阶偏导数，则有

这里L为区域D的边界曲线，且取正向．

  应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算．

二、曲线积分与路线的无关性

定义13.3.1 设是一平面区域，如果对于D中

任意两点以及由A到B的任一路线都有

则称曲线积分在区域D与路线无关．

    定理13.3.2 设D是单连通区域，若函数在闭域D内连续，且具有连续的一阶偏导数，则以下四条件等价：

    1 沿D中任一按段光滑的闭曲线L，有

．

    2 对D中任一按段光滑曲线L，曲线积分

与路线无关，只与L的起点和终点有关．

3是D内某一函数的全微分，即存在二元函数

在D内有

．

4 在D内每一点处有．

    一般地，若在区域D内有，则对区域D内任意两点与，有

 ]

同理

             

即

 

三、全微分方程

    定义13.3.2  若常微分方程：

的左端可以写成某一个函数的全微分，即

则该方程称为全微分方程．

    全微分方程可写成

所以，通解为

    由定理13.3.2可知，是全微分方程的充要条件为：

因此，我们可以用上式来判断一微分方程是否是全微分方程．

典型例题：

例1．  应用格林公式计算：，其中L依逆时针方向绕圆周：的一圈．

解 因  ，所以  ，于是有

例2.. 求微分方程的通解．

    解 (法一) ，，所以该方程是全微分方程．由(*)式，得

*-

通解即为

．

    （法二）还可以用凑全微分的办法来求解．

故为微分方程通解．