格林公式——二重积分与第二型曲线积分有什么联系

学过高等数学的都知道格林公式，它能将某些二重积分的计算转化为曲线积分的计算，或者反过来将某些曲线积分的计算转化为二重积分的计算，但是这看似神奇的操作背后的原理是什么？我们知道曲线积分最后是转化为定积分计算的，二重积分则是两次使用定积分，它们为什么能够等价？原因在于它们的被积函数是不同的，二重积分的被积函数是曲线积分被积函数的偏导数，这就类似于微积分里的牛顿-莱布尼茨定理，它将定积分与原函数建立起关系，格林公式就是将双重积分与原函数的定积分建立起联系。现在给出格林公式的描述。

定义（边界曲线的正方向）：当人沿着边界行走，区域总在它的左边。

平面内的区域D有多种情况。区域D的边界可以由一条曲线构成，也可以由几条曲线构成。有一种区域叫作x型区域是说平行于x轴的直线与边界至多交于两点，同样的，y型区域是说平行于y轴的直线与边界至多交于两点。现在对区域D分三种情况讨论，如果在这三种情况下，都满足方程，就证明了格林公式。

证明：

(i)区域D既是x型区域也是y型区域。

(ii)区域D由一条闭曲线围成。

这时候区域D不再是x型区域或y型区域，但我们可将它分割成几个既是x型又是y型的子区域。

如图，分割为3个自区域，区域的双重积分就是三个自区域的双重积分之和，由于(i)，子区域的双重积分可写作曲线积分，于是

(iii)区域D由几条闭曲线围成。

这时可以添加曲线使得区域由一条闭曲线围成，这样就变成了(ii)的情况。