写在前面 随着《勾股定理》一章的结束,意味着八年级上半学期的学习渐入尾声,我们即将迎来期中复习. 这一讲,我们从《勾股定理的应用》中,选取四道中考的典型小题,来感受折叠的精彩. 一.折叠的本质 众所周知,初中几何的三大变换是“平移”,“翻折”,“旋转”.苏科版在八上和八下分别设置了2个章节《轴对称图形》《中心对称图形》,即关注了其中两大变换.比如“手拉手”模型,即属于“中心对称”中的内容,而折叠小题,则是“轴对称”中的重点. 说折叠的本质就是轴对称,其原因在于,很多题目的解决需要用到轴对称的性质.如翻折前后的两个图形成轴对称,对应线段相等,对应角相等.而对应点的连线,则被折痕(对称轴)垂直平分.熟悉以上性质,可以为我们解题提供很多帮助. 二.基本模型与方法 我们知道,在矩形的折叠中,其一组对边可以作为平行线,而折痕充当了角平分线,这就有了一个常见的基本模型,“平行+角平分→等腰三角形”. 用这个模型,可以得到相等的边,再找到一些未知长度的边所在的直角三角形,这样,用基本方法——勾股定理建立方程,可以解决大部分问题. 1 分析解答与反思 本题不难,甚至可以秒解. C△ABE=AB+AE+BE =AB+AD=1+2=3 C△C′BF=C′B+ C′F+BF =CD+CF+BF =CD+CB=3 C△ABE+C△C′BF=3+3=6 但本题的价值绝不仅仅于解出答案,我们要学会反思: 1.倘若让你用尺规作图作出折痕EF,你会吗? 考虑到B,D关于EF成轴对称, 则作对角线BD的中垂线即为所求. 2.题目中有你熟悉的基本模型吗? EF平分∠BED,∠1=∠2, DE∥ BF,∠2=∠3, ∴ ∠1=∠3, BE=BF,△BEF为等腰三角形. 1 分析解答与反思 这道题涉及到求线段FD长,显然应该考虑到构造直角三角形,那么第一步辅助线就想到连接EF.接下来看能否在△EDF中用勾股定理.但是EF目前无法表示,只能考虑将DF边转化,证明能否与GF相等.最终转化到△BCF中建立勾股定理的方程. 由折叠知,AE=EG, 又∵E为AD中点,则EG=ED, 在Rt△EFG和Rt△EFD中, ∠1=∠D=90°, 三.对应点连线很重要 除了利用基本模型解题,我们别忘了“对称轴将对应点连线垂直平分”这一重要性质,尤其是将直角三角形折叠时,构造的筝形也非常关键.在初二年级段,倘若知道了翻折三角形的两边长,即可利用面积法求得对应点连线的长度. 此外,若是在翻折过程中,折痕线段的一个端点是中点,还会有其他的直角三角形出现,可以拓宽思路.以下2题均是最近2年讨论多次的热点题,笔者借此机会,再给出适合初二学生的解法. 1 分析与解答 连接BF交AE于G, 则BG=FG, 易知AB×BE=BG×AE, ∵E为BC中点,∴BE=3, 在Rt△ABE中, AB=4,BE=3, ∴AE=5, ∴BG=2.4,BF=4.8. ∵BF=EF=CE, 根据“一个三角形中, 一条边的中线等于这条边的一半, 这个三角形是直角三角形”, 易知△BFC为直角三角形, ∠BFC=90°,则CF=3.6 1 分析与解答 小结: 以上四道中考折叠小题,既有基本模型,又有基本方法,利用对称性,可以求对应点连线的长度,方法非常多. 而且,随着知识点学习的增加,我们还可以利用相似,三角函数来解,可谓十分精彩. 例3,例4的更多解法,详见: 《2017无锡中考数学不完全解析(1)——细品填空选择压轴题》 本讲思考题: 如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4.点E是BC边上一点,连接AE,将∠B沿AE折叠,使点B落在点B'处.当△CEB'是直角三角形时,BE的长是_____ 答案详见下期精彩! END |
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