三角形的三边关系定理和斐波那契数列

    例1、三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个联系：

     现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n>2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少？

     分析：由于形成三角形的 充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是存在两边之和不超过另一边。截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条 线段就是2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。

     我们看到，“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最 小数1产生了斐波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了。这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。

     在这个问题中，144>143，这个143是斐波那契数列的前n项和，我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成三角形了。

    例2、已知（A，B）=21，[A,B]=126,求A+B=？
​    解： 用短除法对A、B分解质因数：
                3∟A   B  

                 7∟A1  B1  
​                     a   b
​         则3×7×a×b=126，且（a,b）=1，因此 
​         ab=126÷3×7
​         ab=6
​         a=1，b=6；或a=2，b=3
​         当a=1时，A=21，B=126，A+B=147
​         当a=2时，A=42，B=63，A+B=105 

    
​    答：这两个数的和是147或105
   

    例3、【第十五届华杯赛决赛第12题】华罗庚爷爷出生于1910年11月12日。将这些数字排成一个整数，并且分解成19101112=1163×16424，请问这两个数1163和16424中有质数吗？并说明理由。

    【答案】：1163是质数。用平方根法。40²=1600>1163，小于40的所有质数都不能整除1163，所以它是质数。
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​    例4 【第十四届华杯赛决赛第6题】已知三个合数A，B，C两两互质，且A×B×C=11011×28，那么A+B+C的最大值为 ？
​   解：对A×B×C分解质因数：
​             2∟11011×28    
              2∟11011×14   
​                            7∟11011× 7 
​                              11∟11011  
​                                11∟1001  
​                                    7 ∟  91 
​                                           13
​​        则A×B×C=2²×7²×11²×13
​              三个合数 A，B，C必能写成2²、7²、11²、13或它们的乘积；
​              要使A，B，C两两互质， 每个数必不含其它数中的质因数，即质因数不重复出现；
​              要使A+B+C的值最大，就先在全部因数里求得最大数为11²×13，再在剩余的因数里 
​       求、​得最大数为7²，另一 个数就是2²。
​        11²×13+7²+4=1626
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​        答：A+B+C的最大值为1626.  

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​    例5 【第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A 10分第二大题3】已知a,b,c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60，a与c的最小公倍数是270。求b与c的最小公倍数。

       【答案】：首先注意到，60可以分解为2²x3x5，270可以分解为2²x3³x5，[a,b]=60，我们根据质因子最多相乘法，假设，b不是2²的倍数，那a一定是2²的倍数，那么这样一来[a,c]一定含有2²这个因子，所以出现了矛盾。这样我们得到b是2²的倍数。同理，同学们可以自己分析得到c是3³的倍数。到这儿为止，我们发现[b,c]中一定含有2²x3³这个因子。若a中不含5这个因子，b,c都含5这个因子，在这种情况下，最小公倍数为2²x3³x5=540；若a中含5这个因子，b,c可以含也可以不含5这个因子，在这种情况下，最小公倍数为2²x3³x5=540或者2²x3³=108。
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​      例6   0.1(•)+0.12(•)+0.123(•)4(•)=?
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两两互质，且