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数学——在大多数人心目中，都是完美的、融洽的、毫无漏洞的；当然对某些人来说，也是触不可及的。 没错，在二十世纪前，数学一直都被认为是自洽的，没有矛盾的，可是在1931年后，这个认知就被一个定理打破了，它就是大名鼎鼎的——哥德尔不完备性定理。 哥德尔不完备性定理 这就是完整的哥德尔不完备性定理，被誉为二十世纪最伟大的发现之一，由奥地利裔美国数学家哥德尔（Goedel，1906-1978）在1931年提出。 该定理的描述其实是说，只要数学系统包含了初等数论描述，那么该系统的自洽性和完备性就不可能同时得到满足。该定理一出就震惊整个科学界，然后一举粉碎了数学家们二千多年来统一数学的愿望，然后魔爪延伸至哲学，甚至物理学。 最为人所知的不可判定命题，当属欧几里德第五公设（也叫平行公设），该命题已经被证实为不能证明也不能证伪，因为我们假设平行线不相交也是能相容的，在更高级的系统中相容。 欧几里德第五公设 哥德尔不完备性定理的意义非常深刻，以至于数学家们感叹道'上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。' 可有趣的是，我们虽然不能证明这种相容性，但是我们居然能证明'这种相容性无法被证明'。数学家的语言，可真是形如鬼魅啊。 其实，关于哥德尔不完备性定理的影响，远远不止数学领域，甚至在哲学领域都涉其根本，物理学也遇到了类似的问题，在2016年，霍金在一次演讲中，提道哥德尔不完备性定理时：'我们迄今所有的物理学理论，既是不相容的，也是不完备的！' 哥德尔不完备性定理的推导过程，本质上都是从一个著名的'说谎者悖论'开始的，该悖论的深刻意义，反映了我们人类的语言在逻辑上的缺陷，或许这就是我们人类认知的必然缺陷吧！ 说谎者悖论 该定理对数学界来说，是个非常大的灾难，因为在我们的数学系统中，陆续发现了一些不能被证伪，也不能被证明的命题，而且这些命题越来越初等化。 比如这个命题：如果我们用可数种颜料，对每一个实数进行染色，那么是否必定存在四个互不相等的数x、y、z、w，使得他们颜色相同而且满足等式x+y=z+w？ 不可判定的问题 该命题就是不能判定的，因为有人证明了它和连续统假设等价，而连续统假设就是不能判定的命题之一。 既然数学中有了这个魔鬼，那么数学家是怎么解决的呢？其实数学家解决不了这个问题，他们只能推开这个“魔鬼”定理，而且是往更高级的系统中推，好比推卸责任一样。 就如：两个学生打架了，他们又不想负担责任怎么办？于是两个学生就把责任推给班长，然后班长推给班主任，班主任又推给校长，校长又推给教育局局长……这样一步步下去，就好似谁都没有责任了。数学家对哥德尔不完备性定理的处理方式也是这样的。 这样的处理的确很有效，但是谁也不知道，我们的数学系统中，是否已经存在了漏洞，希尔伯特说道：'数学家把羊赶进围栏，并保证狼无法进入围栏内，可是数学家永远不知道，原来的羊群中，是否已经混入了狼！' 喜洋洋灰太郎。。。嘻嘻 要是真有那一天，那很可能就是第四次数学危机了，数学家是否能解决危机，我们还不得而知，或许他们都还没准备好呢！你说呢？ |
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