黄金分割比——斐波那契数列

趣味小课堂 2017-11-04

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列。

斐波那契(Leonardo Fibonacci)是13世纪意大利著名的数学家，因父亲在北非的阿尔及利亚经商，所以较早地接触了东方数学，特别学习了当时较流行的罗马记数法、先进的“印度一阿拉伯数字记数法”以及东方的乘除计算法。1202年斐波那契针对东方数学写了{Liber Abaci>(算经)，在书里他第一个介绍了印度一阿拉伯记数法。之后，他又完成了《几何实习》(1220年)和《四艺经》(1225年)两部著作。当时，欧洲虽然知道一些阿拉伯记数法和印度算法，但仅局限于修道院内，一般人还是用罗马数学记数法而且尽量避免使用“零”。斐波那契的《算经》，介绍了阿拉伯记数法和印度人对整数、分数、平方根、立方根的运算方法，在欧洲大陆产生了极大的影响，改变了当时数学的面貌，被认为是欧洲人写的一部伟大的数学著作，在两个多世纪中一直被奉为经典著作。

1．2  斐波那契数列

在《算经》中，斐波那契提出一个有趣的问题：假定有一雄一雌一对刚出生的小兔，一个月后它们就能长大成大兔，并开始交配，在第二月结束时，雌兔子产下另一对兔子，过了一个月后它们也开始繁殖，如此这般持续下去。每只雌兔在开始繁殖时每月都产下-x~兔子，假定没有兔子死亡，问一对刚出生的小兔，一年内能繁殖成多少对兔子?

一月底，最初的一对兔子刚开始交配，所以只有1对兔子；二月底，雌兔产下一对兔子，共2对；三月底，最老的雌兔产下第-x~兔子，共3对；四月底，最老的雌兔产下第三对兔子，两个月前生的雌兔产下一对兔子，共5对，⋯⋯ ，如此这般计算，兔子对数分别是：1，2，3，5，8，l3，21，34，55，89，144，233。这就是著名的斐波那契数列，数列中的每一项，称为“斐波那契数”。第l3位的斐波那契数，即为一对刚出生的小兔一年内所能繁殖成的兔子的对数，即233。从斐波那契数的构造明显看出：斐波那契数列从第3项开始，每项都等于前面两项之和。

斐波那契数列： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：^[2] 

显然这是一个线性递推数列。通项公式

有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近0.618）。

1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666...，3÷5=0.6，5÷8=0.625…………，55÷89=0.617977……………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886…...

自然界中的斐波那契数列
自然界中到处可见费氏数列的踪迹。树技上的分枝数，多数花的瓣数都是费氏数：火鹤 1、百合 3、梅花 5、桔梗常为 8、金盏花 13、…等等。费氏数列也出现在松果上。一片片的鳞片在整粒松果上顺着两组螺线排列：一组呈顺时针旋转，另一组呈反时针，网页上的图；仔细瞧瞧，顺时针螺线的排列数目是 8，反时针方向则为 13，而另一组常出现的数字是「5 及 8」。向日葵也是一样，常见的螺线数目为「34 及 55」，较大的向日葵的螺线数目则为「89 及 144」，更大的甚至还有「144 及 233」。这些全都是费氏数列中相邻两项的数值。数数看，下图这朵向日葵的螺线数目是多少？

植物是以种子和嫩芽开始生长；种子发芽后，很多细根会长出来，并且向地底下生长，而嫩芽则是迎向阳光。如果用显微镜观察新芽的顶端，你可以看到所有植物的主要征貌的生长过程——包括叶子、花瓣、萼片、小花（floret）等等。在顶端的中央，有一个圆形的组织称为「顶尖」（apex）；而在顶尖的周围，则有微小隆起物一个接一个的形成，这些隆起则称为「原基」（primordium）。成长时，每一个原基自顶尖移开（顶尖从隆起处向外生长，新的原基则在原地）；最后，这些隆起原基会长成叶子、花瓣、萼片等等。每个原基都希望生成的花、蕊、或叶片等等，之后能够获得最大的生长空间。

来源：互联网。