PID 控制之数学观点

在控制领域, 反馈是处理系统不确定的有效手段. 反馈理论的要素包括三个部分：测量、比较和执行。测量关键的是被控变量的实际值与期望值相比较，用这个偏差来纠正系统的响应，执行调节控制。在工程实际中，应用最为广泛的反馈控制规律为比例、积分、微分控制简称 PID 控制. PID 控制器问世至今已有约 100 年历史，它结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便, 至今仍然是工业控制的主要技术。不论现代控制理论如何漂亮, 都无法撼动 PID 控制在工业过程控制中占主导地位。当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不到精确的数学模型时，系统控制器的结构和参数必须依靠经验和现场调试来确定，这时应用 PID 控制技术最为方便。

我们通过如下二阶系统来分别说明 P、I、D 三种控制方法的性能：

这一系统可以写成抽象形式：

关于 PID 控制的性能，已经有很多基于工程实践的经验总结。这些总结对实际应用有一定的指导意义，形成了一套完整的参数镇定方法。然而这些总结大多是定性的描述，还需要严格的数学说明。下面我们从数学的角度来分析二阶系统 P、I、D 三种控制作用的优缺点，以便加深对它们的理解。

比例控制作用微分控制作用

微分控制作用

所以微分控制 u_d 也不能消除被控量的稳态误差。另一方面，由于微分作用可以放大高频干扰，影响系统稳定性，因此单独的微分控制器是不能使用的。另外实际中的微分作用通常是带有滤波环节的。

积分控制作用

其中 j 是虚数单位。积分控制之所以能够消除稳态误差是因为稳定谱点 λ_1 。但是由于两个不稳定谱点 λ_2 ,λ_3 的存在，积分控制不能单独使用，需要其它控制作用来抑制积分控制的这一缺点。实际使用中积分的调节参数 k_i 不能太大，否则积分控制的这两个不稳定谱点会产生超调。

综上所述，对于二阶控制系统来说，单独使用 P、I、D 的任意一种控制都不能达到需要的控制效果。比例作用可使控制过程趋于稳定，但在单独使用时，被控量会产生稳态偏差；积分作用能使被控量无静态偏差，但单独使用时，会使控制过程变得振荡甚至不稳定；微分作用能克服系统的大惯性，但被控量也会产生稳态偏差。此外微分还有放大高频干扰的作用，因此也不能单独使用。由于三种作用各具特点，所以目前工业上常采用 P、I、D 的组合来设计控制器。

注记：

通过 (2.9) 可以看出：k_p , k_i 和 k_d 对系统谱点的影响是非线性的。因此，P、I、D 三种作用是互相渗透、甚至是彼此矛盾的。这一点和实际应用是相吻合的，PID 的参数调节经常会出现顾此失彼，出现按下葫芦又起瓢的情况。从数学上看，系统的谱点决定了系统的性能。所以 PID 参数设置的奥妙应该隐藏在非线性方程组 (2.9) 中。因此，我们有可能利用非线性方程组 (2.9) 将 PID 的参数设置精确化，从而使 PID 参数调节简单易行。由于 P、I、D 的相互作用，本文独立地分析它们的性能未必是合理的。尽管如此，我们仍然能从中感觉到 P、I、D 三种作用的大致特点。