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昨天写的那道导数题的第二问有很多问题，而我又发现另一道跟这个类似的高考题，我觉得我应该，将这个题型更加清楚的讲出来。 我希望如果在高考中这样的题型在此出现，看到这篇文章的同学可以将他答出来。 题型是这样的，如果给你一个函数f(x)这个函数的表达式中含有一个未知的系数a，然后告诉你这个函数有两个零点，问你未知系数a的取值范围。就如下面两道题所示： 图1 . 图2 面对这样的题型，首先想一下高中与零点有关的定理，似乎只有这样一个定理：若f(x)在区间[a,b]连续，且满座f(a)与f(b)异号，则f(x)在区间[a,b]存在零点。对于这道题而言就是我们要找到两段这样的区间。我将以第二题第一问为例讲述这个过程。 一般情况下连续总是满足的，所以我们只需要找到异号就可以了。 而我只想讨论，函数没有极值点，有一个极值点，有两个极值点的情况，其余的三个以上那个极值点的情况极其少见，而且，讨论起来过于复杂，就不做讨论了。（其实，如果真出现多个极值点，要想满足如果满足两个极值点必须要，有有相邻的极值点同号出现，情况和去掉其中相相邻的两个极值点点是相同的，因为去掉这两个点不会使函数的增长方向改变，也不会改变极值点的个数，所以这三种情况可以近似代替所有的的情况） 第一种情况：函数没有极值点，那么这个函数就是单调函数，你至多找到一个零点。 第二种情况：函数有一个极值点，且为极小值点（极大值点过程类似不做说明），首先考虑极小值点大于零，那么必然不可能存在零点，因为这个函数的最小值点（唯一的极小值点，没有端点）大于0。 极小值等于0，只有一个零点（极小值点）也不满足。 所以要想满足有两个零点的条件必须满足极小值点小于0，现在有了一个小于0的点，我们只需要在极值点的左右各找到一个大于零的点就可以说明这个函数有两个零点。（所有此类题结果基本上都出在这种情况），下面是出现在第二题中的只有一个极值点的情况。 当有两个极值点时，必然是一个极大值点，一个极小值点，假设极大值点在极小值点前面（反之类似不做说明），假设两个点的值都大于0，则小于极大值点的区间在有一个零点，其余区间没有零点。 同理：假设两个点的值都小于0，则大于极小值点的区间在有一个零点，其余区间没有零点。 当极大值大于0，极小值小于零时在区间（极大值，极小值）必然存在零点，所以必须保证小于极大值点的区间和大于极小值点的区间有且只有一个区间有零点。（其实这种情况很少出现，但是也一定要小心）。 当极大值点的值等于0时，只需要在极小值点右侧找一个大于0的点，（即在极小值右侧找到一个零点） 当极小值点的值等于0时，只需要在极大值点左侧找一个小于0的点，（即在极大值左侧找到一个零点） 自此，这个题型就全部讲清楚了，第二题还有一个第二问，我想在明天中讲述，这又是导数题中的一种巧妙思路。 |
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