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例5 一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的是哪一个？
，要使它被11整除，要满足 （9 7 5 b）-（8 6 a）=（21 b）-（14 a） 能被11整除，也就是7 b-a要能被11整除，但是a与b只能是0，1，2，3，4中的两个数，只有b＝4，a＝0，满足条件的最大七位数是9876504. 再介绍另一种解法. 先用各位数字均不相同的最大的七位数除以11（参见下页除式）. 要满足题目的条件，这个数是9876543减6，或者再减去11的倍数中的一个数，使最后两位数字是0，1，2，3，4中的两个数字.
43-6＝37，37-11＝26，26-11＝15，15-11＝4，因此这个数是9876504. 思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？ （答：1023495） 例6 某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？ 与上例题一样，有两种解法. 解一：从整除特征考虑. 这个七位数的最后一位数字显然是0. 另外，只要再分别考虑它能被9，8，7整除. 1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位与百位的数字和是5或14，要被8整除，最后三位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数： 1993500，1993320，1993680， 其中只有199320能被7整除，因此所求的三位数是320. 解二：直接用除式来考虑. 2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍数是2520，这个七位数要被2520整除. 现在用1993000被2520来除，具体的除式如下：
因为 2520-2200＝320，所以1993000 320=1993320能被2520整除. 例7 下面这个41位数
能被7整除，中间方格代表的数字是几？ 解：因为 111111＝3×7×11×13×37，所以 555555＝5×111111和999999＝9×111111 都能被7整除.这样，18个5和18个9分别组成的18位数，也都能被7整除.
右边的三个加数中，前、后两个数都能被7整除，那么只要中间的55□99能被7整除，原数就能被7整除. 把55□99拆成两个数的和： 55A00＋B99， 其中□=A B. 因为7丨55300，7丨399，所以□=3 3＝6. 注意，记住111111能被7整除是很有用的. 例8 甲、乙两人进行下面的游戏. 两人先约定一个整数N.然后，由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字之一填入下面任一个方格中
每一方格只填一个数字，六个方格都填上数字（数字可重复）后，就形成一个六位数.如果这个六位数能被N整除，就算乙胜；如果这个六位数不能被N整除，就算甲胜. 如果N小于15，当N取哪几个数时，乙能取胜？ 解：N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就使六位数不能被N整除，乙不能获胜.N＝5，甲可以在六位数的个位，填一个不是0或5的数，甲就获胜. 上面已经列出乙不能获胜的N的取值. 如果N＝1，很明显乙必获胜. 如果N＝3或9，那么乙在填最后一个数时，总是能把六个数字之和，凑成3的整数倍或9的整数倍.因此，乙必能获胜. 考虑N＝7，11，13是本题最困难的情况.注意到1001＝7×11×13，乙就有一种必胜的办法.我们从左往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对，甲在一对格子的一格上填某一个数字后，乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字，这就保证所填成的六位数能被1001整除.根据前面讲到的性质2，这个六位数，能被7，11或13整除，乙就能获胜. 综合起来，使乙能获胜的N是1，3，7，9，11，13. 记住，1001＝7×11×13，在数学竞赛或者做智力测验题时，常常是有用的. |
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