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地产公司做项目测算时大多会着重看两个指标，净利润率和irr。 净利润率为静态指标（不考虑资金的时间价值），irr为动态指标（考虑资金的时间价值）。 相对来说irr较为复杂。 这篇文章主要跟大家分享下我对irr的理解。 我是地产运营岗的，会经常接触到这些指标，当然也听到过一些同行的观点。 他们觉得运营不是财务，没必要深入了解这些数字，在他们看来这些都是数字游戏，运营还是要下沉到项目。 虽然我知道大多数地产从业者不需要懂这些数字一样能把工作干的出色，但是我仍然对这个观点持反对意见。 我认为遇到不懂的就去探索才是该有的工作态度、生活态度。所以这篇文章只为想要了解和探讨的人而写。 irr怎么算 看到这个标题，许多同行哈哈大笑，肯定想这有什么好讲的，用excel里求irr的公式=irr（）一拉不就出来了，村口烫头的王师傅学五分钟都能算出来。 但是王师傅只知道irr用excel怎么求，却不了解求irr背后的逻辑，我相信有相当一部分同行也是如此。 所以我需要讲一下irr的计算逻辑，因为如果你想真正了解一个东西，就必须得知道它到底是怎么来的。 举个例子： 象牙山的包工头亮仔听说养猪能赚钱，准备搞个养猪场。村里有个土豪叫阿强，有几百万存在余额宝，于是他便去说服阿强一起投资。 他跟阿强商量好，阿强第一、第二年每年投资100万，第三年分阿强200万，第四第五年分别再分阿强50万。 为了说服阿强，亮仔给阿强引入了一个概念叫内部收益率，同时写出了下面的现金流表： 阿强问亮仔：内部收益率是啥？ 亮仔解释：【资金流入折现值总额与资金流出折现值总额相等、净现值等于零时的折现率。】 阿强：讲人话。 亮仔：通俗的意思就是设折现率为x，把净现金流每一期的数字用折现率x一一折现到第一期，令所有数字相加等于0，这时候折现率x就是内部收益率。（注：关于折现率的基础概念不再解释，可以查阅资料） 接着亮仔在纸上列了一个方程式：  最终亮仔将方程式整理成了一个一元四次方程式，这个方程式的解x就是净现值为0的收益率，也就是内部收益率。 以上就是利用irr的概念用数学方法列出的一元多次方程式，通过感受这一过程能够让大家更好的理解irr是怎么求出的。 但是解这个方程式很难，所以一般我们还是会运用excel快速求出irr。 这里有思维活跃的同学已经想到一件事，那就是一元四次方程式理论上有4个解，关于多解的问题后面会详细说到，这里先不深入讲。 irr到底是什么样的收益率 接上面的故事： 亮仔告诉阿强，手算出内部收益率太难，于是打开电脑用excel中的irr函数求出了内部收益率是22.9%。  亮仔略带一丝不易察觉的狡黠微笑告诉阿强：你看你这次投资我的养猪项目的年化收益率是22.9%，难道不比你放在余额宝里面香？ 阿强心想22.9%的年化收益率还真的挺高的，以自己目前的资源根本找不到这么高收益率的投资机会。但是爱钻牛角尖的大熊还是决定验证一下： 第一年投资的100万，到第五年项目结束后，获得的收益是100*（1 22.9%）^4=228万； 第二年投资的100万，到第五年项目结束后，获得的收益是100*（1 22.9%）^3=186万； 二者相加355.5 258.9等于414万。 阿强算完大吃一惊，前两年投了200万，到最后竟然能拿到414万？可是从跟亮仔商量的方案上来看自己也只拿到了300万呀，这剩下的114万哪去鸟？ 一旁的亮仔没想到平时看起来傻傻的阿强会真的认真算一遍，尴尬的站在一旁冒冷汗。 阿强认为亮仔在骗他，瞬间怒火中烧，使出一招猴子偷桃，右手成爪直取亮仔要害。亮仔见状左脚踩右脚腾空而起，跳上了旁边的墙头。 两人一高一矮隔空对峙。 就在两人大喊绝招准备正面硬钢之际，正在一旁扫地的老头大熊脚踏七星连行七步以一种不可思议的速度出现在两人中间，随即一招太极云手化解了两方的攻势，制止了双方的进一步动作。 大熊询问了冲突起因后，对两人道： “你们碰见我算是遇到对的人了，我年轻时候的本科专业是工程管理，学习过工程经济学，里面就有讲到这个内部收益率，我对此略知一二，就让老夫帮你们评断一下。” 大熊思索片刻，接着说道： 其实亮仔算的内部收益率没有问题，但是如果简单的将内部收益率理解为年化收益率就有点问题。阿强你想知道为什么少了114万对吗？ 原因是我们求解内部收益率的前提是默认了【资金具有时间价值】。 所以如果你把第三年拿到的200万和第四年拿到的50万以22.9%为收益率再投资出去，加上第五年当年收入的50万，就等于你的414万。 阿强听完开始动笔验证： 第三年的200万以22.9%的收益率再投资出去，到第五年获得的收益是200*（1 22.9%）^2=302万； 第四年的50万以22.9%的收益率再投资出去，到第五年获得的收益是50*（1 22.9%）=62万； 加上第五年的50万收益，三者相加302 62 50=414万。 这时一旁的亮仔附和道：“你看，这414万不就有了嘛……” 阿强的怒气再次被点燃；“有个锤子，我要是能随随便便找个一年22.9%的收益率的投资机会我能把钱存余额宝？我看你是成心耍我！” 说完欲再次动手。亮仔赶紧向大熊投去求助的目光，大熊无动于衷。 亮仔偷偷向大熊伸出一根手指头，大熊摇了摇头，亮仔伸出了三根手指头，大熊欲转身要走，亮仔无奈，张开五根手指对着大熊。 大熊见到后，赶忙上前再次拦住阿强，说：“且慢动手，听我细细道来，这个收益率22.9%也不是不无道理……” （作者注：这里其实讲到了irr的一个隐含假设【收益再投资】，大家若是把irr理解成年化收益率，把每期投入按年化收益率22.9%折到项目结束，就存在隐含假设【收益再投资】，这时候求出来的irr越高，此种理解方式越不合理。因为没有办法随随便便就找个这么高回报的投资机会……） 大熊顿了顿，眼珠子一转： 阿强你仔细想想，其实你到了第三年之后便开始陆续回收你的资金，所以你用100*（1 22.9%）^4 100*（1 22.9%）^3=414其实也存在某些层面的不合理。 你换一种思路，你依然将22.9%看成年化收益率，只是这个年化收益率是你投进亮仔这个项目中未回收的本金及利息的收益率，这样你再看看有没有道理。” 于是按照大熊的说法，阿强重新列了一个表格：  果然，这样一算，到最后一年刚刚好回收完所有待回收的本金及利息。 阿强思考片刻觉得这样的确说得通，总的来讲确实也比自己放在余额宝收益多，于是跟亮仔达成协议便回家去了。 大熊默默的收下了亮仔的五百块美滋滋的走了。亮仔一个人在风中凌乱，感叹知识就是金钱。 上面这个故事中包含了两种理解内部收益率的角度，在此进行一个总结： 第一种角度： 将内部收益率当成年化收益率，在项目中的投入都按这个收益率来进行复利计算，一直到项目结束，这样会得到一个理论上的收益。 但是这里会有一个隐含假设【收益再投资】。 只有将项目期间得到的收益同样以内部收益率进行再投资，最终得到的收益才会等于你前期的投资在复利计算下最终得到的理论收益。 这种理解角度的缺陷在于内部收益率越高，【收益再投资】的假设越不合理。 第二种角度： 仍然将内部收益率看成年化收益率，但是仅仅是尚未回收的本金利息和的年化收益率。 因为项目后续是不断开始返还收益的，所以实际上在这个项目中投入的资金并不是一直这么多的，是存在一个【投资回收的过程】的。 项目在全周期内始终处于一个投资回收的过程中，就避开了【收益再投资】这种蛋疼的假设。 所以一个投资项目的内部收益率要想合理，那么这个项目必须在整个周期中始终处于一个投资回收的过程。 以上所有的内容都基于投资的项目是常规项目，现金流规整。 若遇到非常规的项目，现金流不规整，可能无法使一个项目始终处于一个投资回收的过程，那这样的内部收益率将不具有合理的经济含义。 关于irr多解 上面已经讲过怎么列求解irr的方程式。 下图中，将原方程式整理一下，再令1 x=y，这样整理出的方程式其实本质上就是一元n次方程式，而一元n次方程式的根有n个。  当我们需要用irr这个指标时，我们的前提条件是irr只有惟一正根。若irr存在多个正根，则这个项目已经不适用于用irr来进行判断。 那么我们就需要利用一套数学理论来判断irr究竟存不存在多个正根，这里抛出一个知识点叫笛卡尔符号律： 笛卡儿符号律是估计实系数多项式正根个数的一种方法，它断定实系数多项式f(x)=a0x^n a1x^n-1 … an正根个数等于f(x)的系数列a0，a1，…，an的变号数减去一个非负偶数（0是偶数）。 设：f(x)=a0x^n a1x^n-1 … an， 其实系数序列a0，a1，a2，a3......an有μ个变号，而f(x)=0有p个正根，则 (1)p≤μ； (2)p=μ-偶数 将上面的文字用人话解释一下就是irr的正实数根的个数不超过项目的净现金流由负到正或由正到负的次数。 举例：x^3 x^2-x-1=0 这是一个一元三次方方程式，应有三个根。这个公式第二项到第三项由正到负，变化了一次，这个项目只有一个正根。 用一元三次方程式求解器进行验证，该方程式的根为1和-1（二重根算两个根），共3个，其中一个为正实数根，与推论一致。  举例：x^4-x^3 x^2-x-1=0 这是一个一元四次方程式，应有四个根。符号变化了三次，则这个方程可能有3个正实数根或者1个正实数根。 用一元四次方程式计算器验证，该方程一个正实数根，一个负实数根，两个复数根，共四个根，与推论一致。  运用到实际求irr的操作中，可以总结出来这样几条规律： 1、当净现金流的符号没有出现变动时，全负或者全正，那么该方程的y（也就是1 x）无正实数根，那么同样irr（x=y-1）无解。 2、当净现金流的符号变动一次时，如开局一期或者若干期净现金流为负，后续持续为正（一般的项目都是前期投入，后续开始回收资金），这时候irr有三种可能，0、正实数、负实数。 分析如下： 因为符号变动一次，该方程的y有一个正实数根，但是这里要注意，并不是说irr（x=y-1）就一定是正实数。因为我们知道当y为正实数时，x存在3种情况： 若1 x=1，则x等于0； 若1 x大于1，则x大于0，这里irr为irr为正实数; 若1 x大于0且小于1，则x小于0且大于-1，这里irr为负实数。 这里再对应上面三种情况举三个具体的例子帮助大家理解：  （1）符号变动一次，且累计现金流等于0的时候，irr为0。  （2）符号变动一次，且累计现金流大于0的时候，irr有唯一正实数根。  （3）符号变动一次，且累计现金流小于0的时候，irr无正实数根，且至少有一个负实数根。 这里有个细节，我并没有写唯一负实数根，因为当符号变动一次，累计现金流小于0时，求出来的负实数根irr并不一定只有一个，但是负实数根没有讨论意义，所以不再深究。 所以当符号变动一次的时候，只有当累计现金流大于等于0的时候，求出来的irr才是有意义的。 3、当现金流的符号变动多次时，如前期为负，后面为正，然后又为负......像这种符号反复变化的，那么该方程的y（也就是1 x）可能有多个正实数根，也可能有唯一的正实数根，也可能没有正实数根。那么同样irr（x=y-1）就没办法确定。 其实符号变动多次才是我们在做项目测算时的净现金流的常态，因为几乎没有项目的净现金流是很规整的按照我们想要的那样前期为负后续为正只变动一次符号的。 因为大多数项目清盘后，项目还是在建状态，后续的净现金流就完全属于流出状态。 也就是说一个项目至少都会经历这种负-正-负这样的净现金流模式。 更别说销售期间没有持续供货导致中间一段时期没有销售回款或者当期支出多于当期销售回款导致当期净现金流为负这种情况。 也就是说根据实际情况来看，房地产项目的净现金流至少也会变动两次符号，甚至变动更多次导致irr可能存在多解。 （理论上也存在只变动一次的情况，就是这个项目随着项目的建设一直销售到项目完工，且保证每一期的回款都大于当期的支出，个人觉得这种情况不太多见） 也许有同行会说，我做测算虽然净现金流符号变动多，但是用excel算的时候基本每次都给我返回一个正实数，感觉没啥问题呀。 这里再给大家讲一个知识点，用excel求irr的时候，无论有多少个irr的解，excel永远只会返回其中的一个。 因为excel计算irr 的规则是默认这个数字在0.1附近，然后一个一个数去试算，直到有一个解使净现值等于0，就会返回那个解，但是不会继续去寻求第二个解。 所以这就是irr无论有多少个，而excel只会返回一个。 这时候可以用公式=irr（数组，guess）进行求解，guess是人为给定的估计值，通过调整guess的值找到其他解。 其实这种方法也只是理论上可行，实操基本没法办到，在不知道多少个解，不知道解是多少的情况没办法准确给定估计值。 这里举几个例子加深一下大家的感受： 例1（累计现金流等于0的情况）：  这笔净现金流符号变了四次，根据之前的理论y有4，2，0三种正实数根的可能，那么irr最多有4个解。 用求irr公式返回的结果是0。那么是否还存在其他的解呢，这时候我们利用一元四次方程式求解器看一下： 其中X2=0.9循环就是excel返还的irr的其中一个解0（0.99循环-1=0），那么X1就是另外一个解。另外一个irr是1.47-1=0.47。 代入excel验证： 添加一个guess值0.47,irr果然返回了47%。 这里想问大家，当累计现金流等于0时，irr等于0和47%究竟有什么经济含义？ 0%还勉强说得通，这个47%代表啥，当然你要让我强行解释我也能解释，可以跟上面讲的irr的含义联系起来看。 第二期的2000与第四期的1000以47%的再投资收益率投出去然后折到第五期，这样算到最后应该等于第一期，第三期以及第五期的投入按47%的收益率折到第五期的和。 当然这也是理论上的解释，并没有什么实际的经济意义。因为47%收益率的投资项目不好找。 顶多就是说这个投资项目对急需现金流的人或者公司有好处，虽然最后账面上的数字是0。 但是我第一年投资1000万，第二年就收到了2000万，对于现金流比较紧张的公司来讲，这是一个有益的地方。 例2（累计现金流小于0的情况）： 这笔净现金流符号变了四次，根据之前的理论y有4，2，0三种正实数根的可能，那么irr最多有4个解。 同时我们发现累计现金流小于0，意思就是利润额为负，利润率就是负的。再一看，irr求出的解竟然是12%。 通过一元四次方程式在线求解器看看方程解的情况： X2是1.12也就是我们已求出的12%（x=1.12-1），X1是1.39,那么另外一个irr就是1.39-1=0.39。 用excel验证： 这样求出两个irr分别为12%，39%。这两个irr同样的对于一个累计现金流为负的项目没有任何实际意义，惟一牵强的解释仍然是我上面讲的再投资的情况。 同时对于现金流紧张的企业相对来讲有益。 例3（累计现金流大于0的情况）： 其实大多数地产的项目净现金流都类似于这样，符号变动多次，因为最终有利润，所以累计现金流大于0。 这个项目净现金流变化了四次，根据之前的理论y有4，2，0三种正实数根的可能，那么irr最多有4个解。 直接跟上面用一样的方法求出irr最终为两个，71.7%和-76.8%。 这时候有人会说，irr存在唯一正实数解71.7%，那这个irr是不是也是合理的呢。我们直接以第二部分讲过的两个角度来分析。 第一种【收益再投资】的角度： 第一期，第三期跟第五期的投入分别以irr为收益率折到第五期： 1000*（1 71.7%）^4 1000*(1 71.7%)^2 200=11839 第二期、第四期的收益再投资： 2000*（1 71.7%）^3 1000(1 71.7%)=11839 理论上解释的通，实际没有经济意义，因为你办法将你在项目上获得的收益以这么高的收益率再投资。 第二种【投资回收】的角度： 我们发现本来看起来说得通的投资回收看irr的角度也出现问题了，因为第二期的时候发现不仅投资连本带息全部回收，还多了2000-1717.28=282.72。 这时候只能走上收益再投资的老路，将多出的钱以irr为收益率再投出去，到最后一期才能刚刚平掉。所以这里的唯一irr也变得没有实际的经济意义。 所以当净现金流符号变动多次时，excel上给你返回的irr不再有任何意义。 到这里我们总结发现，一旦扯上【收益再投资】，所有东西都变得没有意义。那么我们只有避开它，irr才有意义。所以我们得出结论: 在整个投资项目的周期内，始终保持住投资回收的状态，每一期都有还没回收的投资，这样才不会涉及再投资收益的假设，这样irr才有真实的经济意义。 在大多数地产公司的测算表中，irr只是简单的用=irr（）对一个符号变动多次的净现金流进行求解，excel返回的值就被默认为irr，不管这个数字有多大。 我曾经指着一个100%多的irr问一个同行，为什么irr会这么大，他似乎也没有说上来。 只是说高周转项目一向求出来的irr就是这么多，而且很多公司都是这么求的，应该没啥问题。 一向如此，便对吗？ 正是带着这个疑问，我才对irr起了兴趣，才有了今天这篇跟大家交流探讨的文章。 当然，我也看到过有些投模表比较心细的在求irr的这个环节做了一些小设计。 比如我现在所在的公司在求irr时候，先将净现金流里当期为负数的净现金流通过事先设定好的一个折现率统一折现至第一期。 这样就形成了第一期为负，后续现金流均为正的这种状态，通过将现金流提前规整，使求解过程符合逻辑。 虽然这样操作求出来的不能算是严格意义上的内部收益率，但是至少相对合理，同时说明设置表格的这个人是有心的。 这里同时也抛出一个问题给各路同行，是否在这个指标求解的合理性上有其他好的办法。 |
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