例1 计算下边这组数据的方差和标准差(结果精确到 );423,421,419,420,421,417,422,419,423,418。 分析:注重对方差、标准差的计算公式或简化公式的运用。 解法1
∴ 解法2 令 ,将每一个数据都减去 ,得到一组新数据如下:3,1,-1,0,1,-3,2,-1,3,-2。 ∴
∴ 说明:方差、标准差有三个计算公式,计算方差时要灵活运用,以便减轻运算量.一般情况下,使用简化公式进行计算较简便;当数据较小时,可直接利用方差的简化公式进行计算;当数据较大时,可建立一组对应的新数据后,再用方差的简化公式进行计算 例2 要从甲、乙、丙三位射击运动员中选拔一名参加比赛,在预选赛中,他们每人各打10发子弹,命中的环数如下: 甲:10 10 9 10 9 9 9 9 9 9 ; 乙:10 10 10 9 10 8 8 10 10 8; 丙:10 9 8 10 8 9 10 9 9 9 。 根据这次成绩,应该选拔谁去参加比赛? 根据这次成绩,应该选拔谁去参加比赛? 分析:本题着重考查对方差的意义及实际运用. 解经计算,甲、乙、丙三人命中的总环数分别为93,93,91.所以丙应先遭淘汰. 设甲、乙的命中环数分别为 和 ,方差分别是 和 ,则: 。
∵ ∴ 在总成绩相同的条件下,应选择水平发挥较稳定的运动员甲参加比赛。 说明:丙的总成绩显著,应先遭淘汰,然后利用方差的含义,来考查甲、乙二人成绩的稳定性。 例3 有个班的学生,身高测定数据如下表:
(1)计算各小组及总体平均数; (2)计算各小组及总体方差; (3)哪个小组身高比较整齐? 解:
类似算出第2、3、4、5小组平均数为:171.1,170.4,167.1,169.9. 我们来计算总体平均:将各数均分别减去170,得
采用“相反数就近相抵”的办法,可出现很多的0:
(当然,由于各小组人数相同,也可用各组平均的平均来算:
结果一样.) (2)据我们数据的情况,直接用定义计算小组方差就可以了.先看第一小组
但它是“低水平上的”整齐.而最为参差不齐的是第二小组. 说明: ①在本例求平均数的过程中,我们看到代换x抇i=xi-a还有一个好处,就是若a取得离平均数很“近”,则不仅须计算的数值大大减小,而且出现许多符号相反的数,可互相抵消,从而进一步简化计算;②如果我们把“全班学生的身高”看作总体,而把各小组的身高看作样本 (容量为10的),我们就看出,那么不同的样本“估计”总体的效果是不一样的,比如,用第一小组平均值和方差估计总体平均值和方差是
与总体误差较大,我们还可以把不同小组合并起来,形成较大的样本,比如,把第二、五小组合并(一个方差最大,一个最小),则有
这是个容量为20的样本,“估计”值距真值“近”多了.我们再把二、三、五小组并起来,构成一个容量为30的样本,那么 则与总体平均值和方差,又接近一些. |
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来自: 百眼通 > 《10旧版数学-446》