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由于昨天只呈现了几种简单的解法，很多人觉得不过瘾，所以继续呈上部分解法，欢迎点评讨论！ 【典型问题】 已知P为正方形ABCD的边BC上一点，AE平分∠DAP交DC于E，求证：DE＝AP－BP． 【分析】本题的重要条件是角平分线，其次结论是线段和差的问题，因此都可以有比较好的辅助线添加方法，本题方法多样，下面列举几种，欢迎大家讨论，继续提供更多样的解法，期待您的参与 【解题过程】 证法六：过点E作EF⊥AP于点F，交AB的延长线于点G， 易得DE=EF，AD=AF， 通过证明△ABP≌△AFG（ASA）， 即可得BP=FG， 由EF⊥AP，易得EG=AP（构造直角三角形用全等证明） 所以AP=EG=EF+FG=AE+BP，所以DE＝AP－BP 证法五：过点B作BF⊥AE于点G，分别交AP，AD于点H，F， 易得△BAF≌△ADE，得DE=AF， 易证∠AFH=∠AHF＝∠PHB=∠PBH， 所以DE=AF=AH，PB=PH， 所以DE＝AP－BP 证法四：过点D作DF⊥AF于F，分别交AP，BC于点G，H， 易得△ADE≌△DCH，得DE=CH， 易得∠ADG=∠AGD=∠PGH=∠PHG， 所以AD=AG，PG=PH， 所以AP=AG+PG=BC+PH=CH+BP+PH=DE+BP， 所以DE＝AP－BP 证法三：延长AD到F使得AF＝AP， 过点P作PG∥AB交AD于点G， 连接PF交AE于点H 易得PF⊥AE，得∠F=∠AED， 再证明△ADE≌△PGF， 可得AP＝AF＝AG+GF＝BP＋DE， 所以DE＝AP－BP 证法二：延长CB到F，使得BF=DE，并连接AF， 易证△ADE≌△ABF，再证∠PAF＝∠F＝90°－∠BAF， 得AP＝PF，即可得到AP=PF=BF+ BP= BP +DE， 所以DE＝AP－BP 证法一：延长CD到F，使得DF=BP，并连接AF， 易证△ADF≌△ABP， 易得∠FAE=∠FAD+∠DAE＝∠PAB+∠PAE=∠BAE＝∠FEA， 得FA＝FE， 所以AP=AF=FE=DF+DE=BP+DE，所以DE＝AP－BP 还有哪些方法呢？ |
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