鸡爪定理

证明

由内心和旁心的定义可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=(180°-∠ABC)/2
∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ
同理，∠ICJ=90°
∵∠IBJ+∠ICJ=180°
∴IBJC四点共圆，且IJ为圆的直径
∵AK平分∠BAC
∴KB=KC（相等的圆周角所对的弦相等）
又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB
∴KB=KI
由直角三角形斜边中线定理逆定理可知K是IJ的中点
∴KB=KI=KJ=KC

逆定理

设△ABC中∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于K。在AK及延长线上截取KI=KB=KJ，其中I在△ABC的内部，J在△ABC的外部。则I是△ABC的内心，J是△ABC的旁心。
证明：利用同一法可轻松证明该定理的逆定理。
取△ABC的内心I'和旁心J‘，根据定理有KB=KC=KI'=KJ'
又∵KB=KI=KJ
∴I和I'重合，J和J’重合