B

 

 

25. 材料1：一个多位正整数，如果它既能被13整除，又能被14整除，那么我们称这样的数为“一生一世”数(数字1314的谐音). 例如：正整数364，，，则364是“一生一世”数.

    材料2：若一个正整数，它既能被整除，又能被整除，且与互素（即与的公约数只有1），则一定能被整除. 例如：正整数364，，，因为13和14互素，则，即364一定能被182整除.

（1）6734            （填空：是或者不是）“一生一世”数. 并证明：任意一个位数大于三位的“一生一世”数，将其末尾三位数截去，所截的末尾三位数与截去后剩下的数之差一定能被91整除；

（2）任意一个四位数的“一生一世”数，若满足前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这样的数为“相伴一生一世”数，求出所有的“相伴一生一世”数.

 

25．任意写一个个位数字不为零的四位正整数A，将该正整数A的各位数字顺序颠倒过来，得到四位正整数B，则称A和B为一对四位回文数．例如A=2016，B=6102，则A和B就是一对四位回文数，现将A的回文数B从左往右，依次顺取三个数字组成一个新数，最后不足三个数字时，将开头的一个数字或两个数字顺次接到末尾，在组成三位新数时，如遇最高位数字为零，则去掉最高位数字，由剩下的两个或一个数字组成新数，将得到的所有新数求和，把这个和称为A的回文数B作三位数的和．例如将6102依次顺取三个数字组成的新数分别为：610，102，26，261，它们的和为：610+102+26+261=999，把999称为2016的回文数作三位数的和．

（1）请直接写出一对四位回文数：猜想一个四位正整数的回文数作三位数的和能否被111整除？并说明理由；

（2）已知一个四位正整数（千位数字为1，百位数字为x且0≤x≤9，十位数字为1，个位数字为y且0≤y≤9）的回文数作三位数的和能被27整除，请求出x与y的数量关系．

24. 一个能被17整除的自然数我们称为“灵动数”．“灵动数”的特征是：若把一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的整倍数（包括0），则原数能被17整除．如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾、倍大、相减、验差”的过程，直到能清楚判断为止．

例如：判断1675282能不能被17整除． 167528﹣2×5=167518，16751﹣8×5=16711，1671﹣1×5=1666，166﹣6×5=136，到这里如果你仍然观察不出来，就继续…6×5=30，现在个位×5=30＞剩下的13，就用大数减去小数，30﹣13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除．

（1）请用上述方法判断7242和2098754 是否是“灵动数”，并说明理由；

（2）已知一个四位整数可表示为，其中个位上的数字为n，十位上的数字为m，0≤m≤9，0≤n≤9且m，n为整数．若这个数能被51整除，请求出这个数．

 

24.我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们称p×q是n的最佳分解.并规定：.例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12-1>6-2>4-3，所以3×4是12的最佳分解,所以.

（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数.求证：对任意一个完全平方数m，总有；

（2）如果一个量为正整数t，（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新书减去原来的量为正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所得“吉祥数”中F(t)的最大值.

 

 

 

24．若整数能被整数整除，则一定存在整数，使得，即．例如：若整数能被7整除，则一定存在整数，使得，即．

（1）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被整除，则原多位自然数一定能被整除．例如：将数字分解为和，，因为能被整除，所以能被整除．请你证明任意一个三位数都满足上述规律．

（2）若将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数加上个位数的（为正整数，）倍，所得之和能被整除，求当为何值时使得原多位自然数一定能被整除．

 

24．（1）证明：设某三位数百位、十位、个位上的数字分别是

原三位数为：

根据题意，存在整数，使得…………………………………………（2分）

………………………………………………………（4分）

都为整数

为整数

原数能被7整除……………………………………………………………………………（5分）

（2）解：设将一个多位数按题意分解后得到的个位数是，个位之前的数是

原数为

根据题意，存在整数，使得………………………………………………（6分）

…………………………………（8分）

为正整数，

或2或3或4或5

又为整数

当时，为整数，此时原多位自然数能被13整除……………………………………………………………………………………………（10分）

 

 

24，阅读下列材料解决问题：

若一个正整数满足：将它的各位数字颠倒顺序，得到的新数与原数相加，所得的和能被35 整除，则称这个数为“灵睿数”， 例如：2168是“灵睿数”，∵2168+8612=10780，且10780 ÷ 35=308

（1）判断45、1254是否为“灵睿数"；并证明任意两位正整数不可能是“录睿数"

（2）若一个四位正整数T是“灵睿数"，求T的最大值与最小值的差．

 

25、若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字2，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“诚勤数”，如34的“诚勤数”为324；若将一个两位正整数M加2后得到一个新数，我们称这个新数为M的“立达数”，如34的“立达数”为36.

（1）求证：对任意一个两位正整数A，其“诚勤数”与“立达数”之差能被6整除；

（2）若一个两位正整数B的“立达数”的各位数字之和是B的各位数学之和的一半，求B的值。

25、阅读下列材料，解决问题：[来源:Z|xx|k.Com][来源:学&科&网]

    在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数的和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明。[来源:Zxxk.Com]

材料1：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式。

解：

这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式。

材料2：已知一个能被11整除的个位与百位相同的三位整数，且，求的函数关系式。

解：，

  又，还要使为整数，

，即。

（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为               ；

（2）已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数               ；

（3）已知一个六位整数能被33整除，求满足条件的的值。

 

24．（10分）如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位数字与十位数字的差，则我们称这个四位数为亲密数，例如：自然数4312，其中3＞1,4＝3＋1，2＝3－1，所以4312是亲密数；

（1）最小的亲密数是　　　　　，最大的亲密数是　　　　　　。

（2）若把一个亲密数的千位数字与个位数字交换，得到的新数叫做这个亲密数友谊数，请证明任意一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除；

（3）若一个亲密数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被13整除，请求出这个亲密数。

 

25. (10 分)一个形如 的五位自然数（其中c 表示该数万位和个位上的数字，b 表示千位和十位上的数字，a 表示百位上的数字，且c≠0），若a+c=b，则把该自然数叫做“T 数”，

例如在自然数25352 中，3+2=5，则25352 是一个“T 数”。同时规定：“T 数”与各数位数字之和的差能被自然数n 整除的最大“T 数”记为P  “T 数”与各位数字之和的差能被自然数n 整除的最小“T 数”记为Q。

⑵    证：若能被9 整除，则任意一个“T 数”都能被9 整除.

⑵若“T 数”与它各数位数字之和的差能被7 整除，请求出P和Q.

25．若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如22，797，12321都是对称数．最小的对称数是11，没有最大的对称数，因为数位是无穷的．

（1）有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个对称数．如：17的逆序数为71，17+71=88，88是一个对称数；39的逆序数为93，39+93=132，132的逆序数为231，132+231=363，363是一个对称数．请你根据以上材料，求以687产生的第一个对称数；

（2）若将任意一个四位对称数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除；

（3）若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位对称数共有多少个？

 

24.对任意一个正整数m，如果m=k（k+1），其中k是正整数，则称m为“矩数”，k 为m的最佳拆分点．例如，56=7×（7+1），则56是一个“矩数”，7为56的最佳拆分点．   

（1）求证：若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；   

（2）把“矩数”p与“矩数”q的差记为 D（p，q），其中p＞q，D（p，q）＞0．例如，20=4×5，6=2×3，则 D（20，6）=20﹣6=14．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s，当 D（p，q）=30时，求 的最大值．   

24.【答案】（1）证明：若“矩数”m=k（k+1）是3的倍数，则k（k+1）是3的倍数，k是正整数，
当k为奇数时，k+1是偶数，则k（k+1）是能被3整除的偶数，故k（k+1）是6的倍数；
当k为偶数时，则k（k+1）是能被3整除的偶数，故k（k+1）是6的倍数，
综上所述，若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数
（2）解：根据题意得p=t（t+1），q=s（s+1），D（p，q）=t（t+1）﹣s（s+1）=30，
即t²+t﹣s²﹣s=30，
∴（t﹣s）（t+s+1）=30，
∵t，s是正整数，t＞s，
∴t﹣s，t+s+1是正整数，且t+s+1＞t﹣s，
∵30=1×30=2×15=3×10=5×6，
∴ 或 或 或 ，
解得： 或 或 或 ，
∵t，s是正整数，
∴符合条件的是： 或 或 ，
∴ 或 = 或 = ，
∵ ，
∴ 的最大值是

24. 一个能被17整除的自然数我们称为“灵动数”．“灵动数”的特征是：若把一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的整倍数（包括0），则原数能被17整除．如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾、倍大、相减、验差”的过程，直到能清楚判断为止．

例如：判断1675282能不能被17整除． 167528﹣2×5=167518，16751﹣8×5=16711，1671﹣1×5=1666，166﹣6×5=136，到这里如果你仍然观察不出来，就继续…6×5=30，现在个位×5=30＞剩下的13，就用大数减去小数，30﹣13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除．

（1）请用上述方法判断7242和2098754 是否是“灵动数”，并说明理由；

（2）已知一个四位整数可表示为，其中个位上的数字为n，十位上的数字为m，0≤m≤9，0≤n≤9且m，n为整数．若这个数能被51整除，请求出这个数．

 

25．若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如22，797，12321都是对称数．最小的对称数是11，没有最大的对称数，因为数位是无穷的．

（1）有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个对称数．如：17的逆序数为71，17+71=88，88是一个对称数；39的逆序数为93，39+93=132，132的逆序数为231，132+231=363，363是一个对称数．请你根据以上材料，求以687产生的第一个对称数；

（2）若将任意一个四位对称数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除；

（3）若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位对称数共有多少个？

 

24. 阅读材料：[来源:学。科。网]

材料1．若一元二次方程的两根为，则，,

材料2．已知实数m、n满足，且，求的值．

解：由是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，

∴

根据上述材料解决下面问题：

（1）一元二次方程的两根为，则；

（2）已知实数满足，且，求的值；

（3）已知实数满足、，且，求的值．

 

25. 请阅读下列材料：

问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．

李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′P B是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），从而得到∠BPC=∠AP′B=___ ____；，进而求出等边△ABC的边长为__     ___；

问题得到解决．

请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．

 

 

 

 

25.对于一个三位正整数t，将各数位上的数字重新排序后（包括本身），得到一个新的三位数 （a≤c），在所有重新排列的三位数中，当|a+c﹣2b|最小时，称此时的 为t的“最优组合”，并规定F（t）=|a﹣b|﹣|b﹣c|，例如：124重新排序后为：142、214、因为|1+4﹣4|=1，|1+2﹣8|=5，|2+4﹣2|=4，所以124为124的“最优组合”，此时F（124）=﹣1．   

（1）三位正整数t中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，求证：F（t）=0   

（2）一个正整数，由N个数字组成，若从左向右它的第一位数能被1整除，它的前两位数能被2整除，前三位数能被3整除，…，一直到前N位数能被N整除，我们称这样的数为“善雅数”．例如：123的第一位数1能披1整除，它的前两位数12能被2整除，前三位数123能被3整除，则123是一个“善雅数”．若三位“善雅数”m=200+10x+y（0≤x≤9，0≤y≤9，x、y为整数），m的各位数字之和为一个完全平方数，求出所有符合条件的“善雅数”中F（m）的最大值．

 

25．一个三位正整数，其各位数字均不为零且互不相等。若将的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132.

（1）求证：与其“友谊数”的差能被15整除；

（2）若一个三位正整数，其百位数字为2，十位数字为、个位数字为，且各位数字互不相等（），若的“团结数”与之差为24，求的值。

 

25.如果把一个奇数位的自然数各数为上的数字从最高位到个位依次排列，与从个位到最高位依次排列出的一串数字完全相同，相邻两个数位上的数字之差的绝对值相等（不等于0），且该数正中间的数字与其余数字均不同，我们把这样的自然数称为“阶梯数”，例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，且|1﹣2|=|2﹣3|=|3﹣2|=|2﹣1|=1，因此12321是一个“阶梯数”，又如262，85258，…，都是“阶梯数”，若一个“阶梯数”t从左数到右，奇数位上的数字之和为M，偶数位上的数字之和为N，记P（t）=2N﹣M，Q（t）=M+N．   

（1）已知一个三位“阶梯数”t，其中P（t）=12，且Q（t）为一个完全平方数，求这个三位数；   

（2）已知一个五位“阶梯数”t能被4整除，且Q（t）除以4余2，求该五位“阶梯数”t的最大值与最小值．