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对于初中数学，如果我们从大的方面去划分，可以把它分为“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”和“综合与实践”四类。其中代数一般包括实数、代数式、方程和不等式（组）、函数这四方面的内容。 其中“数与代数”综合题是初中数学中知识覆盖面较广，综合性较强，解题方法较灵活、多样的题型之一。 很多人听到“代数”这一词，脑子浮现的就是计算计算，其实不然，代数综合题蕴含着丰富的数学思想方法，例如化归思想、分类思想、数形结合思想以及代人法、待定系数法等。 纵观近几年的中考试题，“数与代数”综合题是中考试题中较难的题目，要想得高分必须做好这类题，这类题主要以方程（组）、不等式（组）或函数为基础进行综合。解题时一般用分析综合法解，要认真读题，找准突破口，仔细分析各个已知条件，进行转化，发挥条件整体作用进行解题。 中考中“数与代数”综合题涉及的知识类别通常是“你中有我，我中有你”，因此不易将它们十分明显的分类。为了复习方便，我们将其分为四类： 一以方程（组）为主的“数与代数”综合题 【典型例题1】为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元。已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元。 （1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？ 【简析】（1）假设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟，根据总工作效率1/12得出等式方程求出即可； 【点拨】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程。 【参考答案】 （1）设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟，根据题意得出： 12（1/x+1/2x）=1；解得：x=18， 经检验得出：x=18是原方程的解， 则乙车单独运完此堆垃圾需运：2x=36， 答：甲车单独运完需18趟，乙车单独运完需36趟； （2）设甲车每一趟的运费是a元，由题意得： 12a+12（a-200）=4800， 解得：a=300， 则乙车每一趟的费用是：300-200=100(元) 单独租用甲车总费用是：18×300=5400(元) 单独租用乙车总费用是：36×100=3600(元) 3600＜5400， 故单独租用一台车，租用乙车合算． 答：单独租用一台车，租用乙车合算． 二、以不等式（组）为主的“数与代数”综合题 【典型例题2】某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分。 （1）小明考了68分，那么小明答对了多少道题？ 【简析】（1）设小明答对了x道题，则有（20-x）道题答错或不答，根据答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分是68分，即可得到一个关于x的方程，解方程即可求解； 【点拨】本题通过两个问题，考查学生列方程、不等式组解决实际问题的能力，体现数学问题源自现实生活，而又为更好地解决现实问题的辩证规律，正确列式表示出最后的得分是本题解题的关键。 三、以函数为主的“数与代数”综合题 1.方程（组）相结合。 【典型例题3】某服装专卖店计划购进甲、乙两种新款服装共100件，其进价与售价如表所示： （1）若该专卖店计划用42000元进货，则这两种新款服装各购进多少件？ （2）若乙的数量不能超过甲的数量的2倍，试问：应怎样进货才能使专卖店在销售完这批服装时获利最多？并求出最大利润。 【简析】（1）设甲种新款服装购进x件，表示出乙种新款服装购进（100-x）件，然后根据进货款=甲种新款服装的进货款+乙种新款服装的进货款，列出方程求解即可； 【点拨】本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性来解题，理清题目数量关系并列式求出x的取值范围是解题的关键。 【参考答案】 （1）设甲种新款服装购进x件，那么乙种新款服装购进（100-x）件， 由题意得，300x+500（100-x）=42000， 解得x=40， 当x=40时，100-x=60， 答：设甲种新款服装购进40件，乙种新款服装购进60件； （2）设专卖店销售完这批服装可获利w元，甲种服装m件， 由题意得， w=（380-300）m+（600-500）（100-m） 整理得，w=-20m+10000， 所以，w是m的一次函数，且-20＜0， ∴w随m的增大而减小， ∵乙的数量不能超过甲的数量的2倍， ∴100-m≤2m， 解得m≥33(1/3) ∴m的取值范围是33(1/3)≤m＜100， ∵m为整数， ∴m=34时，w取最大值， W最大=-20×34+10000=9320元． 答：该专卖店购进甲种服装34件，乙种服装66件，销售完这批服装获利最多，此时利润为9320元． 2.函数与不等式（组）相结合 【典型例题4】运动会将在我市隆重开幕，某校接受了开幕式大型团体操表演任务。为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商。经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元。经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费。另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人。 【点拨】本题考查了根据已知条件求一次函数的解析式的运用，运用不等式求设计方案的运用，解答本题时根据数量关系求出解析式是关键，建立不等式计算优惠方案是难点。 3.方程（组）、不等式（组）、函数相结合 【典型例题5】某文具店准备购进甲，乙两种铅笔，若购进甲种钢笔100支，乙种铅笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元。 （1）求购进甲，乙两种钢笔每支各需多少元？ 【简析】露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变。故选C。 【点拨】本题是跨学科试题，本题考查函数值随时间的变化问题。注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决。 总之，中考中对“数与代数”综合题的考查，一方面立足于“数与式”、“方程（组）与不等式（组）”、“函数”的核心内容，注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，使学生经历从实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证求解的正确性与合理性的过程，实现对“基础知识与基本技能”的内化；另一方面，中考试题中以问题为载体，通过分解问题的构成要素（条件和结论），分析问题中解的存在性和规律性，寻求不同的解题策略（建模与变式），将数学思维方式融入到对具体问题的探究之中。解答“数与代数”综合题的关键是正确理解并理顺题目中已知和未知之间的关系，综合运用方程（组）、不等式（组）的知识和函数图象的有关性质建立关系式，从而达到解决问题的目的。 |
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