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前言：在题目3中谈及了4种方法，题目4同样可以使用这些方法。 题目： 如图，
将点A1与C重合，将△A1B1C1绕C（A1）逆时针旋转，旋转角为α，边A1C1与边AB的交点为M，记AC=a。 1、计算A1C1的长度； 2、当α=30°时，证明B1C1∥AB； 3、若a=√6+√2，当α=45°时，计算两个三角形重叠部分的面积； 4、当α=60°时，用含a的代数式表示两个三角形重叠部分的面积。 分析： 题目1：△A1B1C1是一个等腰直角三角形，且A1B1=BC=√3AC，所以A1C1长度可得，为a√6/2； 题目:2：如何证明两条直线平行？ 同位角、内错角相等（或通过三角形相似、全等） 先看角的关系：∠B1C1A1与∠BMC为同位角，且∠B1C1A1=90°。 证明∠BMC=90°即可 ∵ ∠BMC=180°－∠AMC，∠AMC=180°－α－∠A ∴ ∠BMC=α+∠A ∵ α=30°，∠A=60° ∴ ∠BMC=90° 显然可以得到一组相似的三角形，但没有必要这样做； 题目3：首选确定重叠部分的形状，如图 当α=45°时，A1B1与CB重合，重叠部分为图中阴影所示，即△BMC。△BMC的面积有以下2类解法： ①替代求解：△BMC的面积=△B1C1A1的面积－△B1C1M的面积 ②直接求解：△BMC的面积=BC×MN/2=B1C1×A1M/2 我们逐个分析： ①△B1C1A1的面积=B1C1×C1A1/2，△B1C1M的面积=B1C1×C1M/2，其中C1M是未知数。 ∵ ∠C1B1M=∠C1B1A1－∠ABC=15°，而tan15°=2－√3 ∴ C1M=B1C1×tan15°=3－√3 ∴ △B1C1M的面积=3 ∴ △B1C1A1的面积=6+3√3 ∴ △BMC的面积=3+3√3 ②由解法①，可得A1M=A1C1－C1M=2√3，所以△BMC的面积=B1C1×A1M/2=3+3√3。 我们试试另一种计算，求解MN ∵ ∠MBN=30°， ∠MCN=45° ∴ BN=MN√3，NC=MN ∴ BC=（1+√3）MN ∵ BC=a√3=√6+3√2 ∴ MN=√6 ∴ △BMC的面积=BC×MN/2=3+3√3。 还可以“舍简求繁”，建立坐标系，通过直线交点坐标与距离公式求解（略）。 题目4：首选确定重叠部分的形状，如图 四边形MNPC为重叠部分，这是一个不规则图形。所以， 重叠部分面积，只能替代求解 四边形MNPC=△A1C1P的面积－△C1MN的面积 依次求解△A1C1P的面积和△C1MN的面积 △A1C1P的面积=A1C1×C1P/2，其中C1P是未知数 ∵ α=60° ∴ ∠C1A1P=30°，A1M=AC=a ∴ C1P=A1C1/√3=a/√2 ∴ △A1C1P的面积=a^2√3/4 △C1MN的面积=C1M×C1N/2，其中C1M和C1N均未知 ∵ ∠AMA1=60° ∴ ∠C1MN=60° ∴ C1N=C1M√3，即C1N可以用C1M表示 ∵ C1M=A1C1－A1M=a√6/2－a ∴ C1N=3a/√2－a√3 ∴ △C1MN的面积=（5√3/4－3√2/2）a^2 ∴ 四边形MNPC=（3√2/2－√3）a^2 解题： 略 回顾： 1、跟着问题找条件，在这一过程中，本题无论遇到多个条件，或是多个解题方向，均未形成干扰。即，无论哪个条件均可较顺利的获得；无论哪种解题方向，均可顺利的完成，不存在难以完成的解题方向。 2、有余力的读者，可以试试以C为原点（点A，或点B都可以作为原点），建立直角坐标系，尝试一下通过直线解析式求解各点坐标，然后利用距离公式求解所需边的长度，从而得到图形面积。 3、虽然，题目3和题目4的分析过程在初中学历程度是可被接受的，但这个分析过程并不算严谨的数学推演，存在一些漏洞：比如M、N的落点在哪里？如何证明！即我们并没有证明重叠部分就是如图所示的样子。当然，这个证明比较容易，不再赘述。 |
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