中考数学：2016广东茂名压轴题

前言：每天只需一道压轴题，小题大做胜过题海战术。

题目：

如图，抛物线L经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，顶点为D，对称轴DE交x轴于点E。连接BD。

1、求经过A，B，C三点的抛物线L的函数表达式；

2、点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；

3、在题目2的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F。G为抛物线上动点，M为x轴上动点，N为直线PF上动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标。

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分析：跟着问题找条件

题目1：

抛物线L解析式中还有两个未知参数，需要建立两个2元1次方程去求解。正好我们有A与B的坐标，代入可解得b=2，c=3。顺手求出C（0，3），D（1，4），E（1，0）；

题目2：

问：如何求点P坐标？

答：点P横坐标、纵坐标均未知，需要建立两个方程求解。即将“P是线段BD上一点”以及“PE=PC”翻译为P坐标的表达式。

问：P在线段BD上如何表达？

答：1、P坐标符合直线BD解析式，我们需要求解BD解析式；2、限定P的范围。

记P（p，q）

第一步：求解BD解析式

y=-2x+6（过程略）

第二步：翻译关于P的两个条件

• P在线段BD上：q=-2p+6，（D的横坐标）1≤p≤3（B的横坐标）

从而可得p=2，点P（2，2）；

题目3：

问：如何求M坐标？

答：将“点F，M，N，G为顶点的四边形是正方形”翻译为M坐标表达式，求解。

问：如何翻译“点F，M，N，G为顶点的四边形是正方形”？

答：有以下4种情形（如图）：

问：为什么是这4种情形？

答：因为M在x轴上，N在直线PF上，所以FM与x轴重合，FN与y轴平行。即，无论M，N的具体位置在哪里，总有FM⊥FN。所以正方形的顶点顺序只有2类、4种情形：

第一类：正方形FMGN

情形①：M在F右侧，N在F上方

情形②：M在F右侧，N在F下方

第二类：正方形FNGM

情形③：M在F左侧，N在F下方

情形④：M在F左侧，N在F上方

记M（m，0），N（2，n），G（g，y），y满足L解析式。对上述4种情形，分别翻译如下：

情形①

• GN∥MF：G的纵坐标与N的纵坐标相等；

• GM∥NF：G的横坐标与M的横坐标相等；

• FM=FN：其种FM=M横坐标﹣F横坐标，FN=N纵坐标﹣F纵坐标

即有

情形②

• GN∥MF：G的纵坐标与N的纵坐标相等；

• GM∥NF：G的横坐标与M的横坐标相等；

• FM=FN：其种FM=M横坐标﹣F横坐标，FN=F纵坐标﹣N纵坐标

即有

情形③

• GN∥MF：G的纵坐标与N的纵坐标相等；

• GM∥NF：G的横坐标与M的横坐标相等；

• FM=FN：其种FM=F横坐标﹣M横坐标，FN=F纵坐标﹣N纵坐标

即有

情形④

• FM=F横坐标﹣M横坐标，FN=N纵坐标﹣F纵坐标

4种情形结果图示如下

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回顾：

应该感谢命题组，在题目3中设定了FM⊥FN。否则，将面临较为复杂的分类与计算。一般情况下：题目仅述由某4个点组成平行四边形、矩形或者正方形时（按照这个顺序讨论由简至繁），我们不能自我设定顶点的顺序（决定了四边形的四条边的组成），必须对每一种排序都进行讨论。其中，按照复杂程度，平行四边形的讨论易于矩形，矩形易于正方形。

之前，给大家分享过的题目解析中几次遇到这种情形，都是讨论平行四边形。如果换做正方形，需要额外增加邻边垂直以及邻边相等的限制。

（微信公众号：数雅。分享如何想到解题方法）