给我印象深刻的一些数学思想（三）：利用周期，缩小范围

一个周长2π的单位圆周，即可映射长度无限的实数轴

我们直接从案例入手，仍然用上期的那道题目，不过这次用的是原题：

• 上期：1~100这100个自然数中选取任意52个（不能重复选），其中必然可以挑出2个，这2个数的和是100；

• 本期：在全部自然数中，任意取52个不相同的数，是否存在其中两个数，其和为100的整数倍？

有没有发现，上期的命题其实已经非常简化了。如果直接抛给你本期的题目，你如何做？这道题目正如我上期所说，具有难题的特征：

1. 大白话，你能轻松阅读题目意思；

2. 开放性，没有给你明确的方向。你需要自己先判断，再验证。

通过比较，读者不难发现，这两个命题最大的不同就在于，我把第二个命题的范围缩小到1～100这个区间去讨论。那么，为什么可以这么做？小范围的讨论结果能够反映原命题的结果么？我们一起解读一下第二个命题。

• 首先，如果直接在全体自然数，或者更大的整数范围内去研究本命题，就算你是计算机，也无法下手。事实上，这道题就是计算机系的算法题目；

• 第二，基于上面的困境。我们需要把研究范围缩小，让人工或者机器可以有的放矢。这道题目中有一句话“100的整数倍”，任意一个自然数，比如5，与自然数105、205、505、1000005等，都可以视为相同的数。为什么？因为其他数字与这些数的和，互相只差100的整数倍。比如再任意取一个数字，比如6。5+6=11，105+6=111，205+6=211，11和111差是100，11和211差是200，都是100的整数倍；

• 第三，根据上述可知，这个命题带有周期性的特点。我们可以利用周期性的特点，把讨论的范围放在某一个连续周期长度内。即，在连续100个自然数中讨论即可。我们选择1～100这100个连续的自然数，也可以选择2～101这100个连续的自然数，只要是一个连续周期即可。

这样，无论你是人工推演，或者机器遍历，都只需研究100个数字就可以了。就算你挨个试一遍，其所有的可能性是有限的，相信也花不了太多时间。

利用周期缩小研究范围，这种数学思想，通常可以令很多因为范围太大而无法下手的问题，变得可以轻松研究。至于如何去做，有很多方法。大家可以慢慢去总结、体会。

常见的连续周期函数，三角函数类